ご回答誠に有難うございます。

>>>  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
>>>   = (1/\pi) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1-x^2/n^2))) + 1/(\pi x)
>>> です.
>> ふーむ,そうですか。。
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__07.jpg
> この中の5行目に上に書いた式がありますね.

はい。

> さて
>  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
>  = i (\exp(\pi x i) + \exp(- \pi x i))/(\exp(\pi x i) - \exp(- \pi x i))
> と書き直すわけですが, それを
：
>  = - 2i h_1(t)
> です. (但し, t = \exp(2 \pi i x).)

ありがとうございます。

> 更に, h_1(t) = の形に書き直すところも間違っています.
>  h_1(t) = - (1/(2 \pi i)) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)))
>           - (1/(2 \pi i x))
：
>   = - (1/(2 \pi i)) ((1/2)(\sum_{n \neq 0} (1/(x+n) + 1/(x-n))) + 1/x)
>   = - (1/(2 \pi i)) (1/2) (\sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n)))
> です.

ありがとうございます。お陰様で漸く解決できました。

>> C^Nは配置集合の事ですね。つまり,{x_n}_{n=1}^∞∈Map(N,C)という訳ですね。
>> 今,x∈Map(N,C)と考えているのでx_1,x_2,…はCの元です。
>> 従って,{x_n}∈2^Cとしたのですが誤ってますでしょうか?
> 誤っています. 数列と, 数列を構成する数の全体の集合とは違います.
> a_n = 0 で定まる数列 { a_n }_{n=1}^\infty と
> ただ一つの元からなる集合 { 0 } とを
> 混同してはいけません.

aはNからCへの写像の事でa_nはnのaによる像a(n)を意味するので
a_n={0},特に原像が単集合の場合は中括弧を省略してa_n=0と書く。
そしてaの原像全体Nの像a(N)もa(N)={0}と書けますよね(複数個の原像の像の中括弧は省略できない)。
とずっと思っていたのですが因みに「集合・位相入門(松坂和夫著)」では
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_sequence.jpg
と説明されていて,やはりa_nは像を表すので{ a_n }_{n=1}^∞={0}と書けるのではないでしょうか?

>> fがD上で絶対収束する事は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__0...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__0...
>> という具合に出来ましたが『十分大きいNをとればM_n≦1/2 (n≧N)とできる.』
>> と説明になってるのですがこれはどうしてなのでしょうか?
> 最初の仮定で, \sum_{n=1}^\infty M_n は収束しているのですから,
> \lim_{n \to \infty} M_n = 0 であり, 明らかにそういう N が
> 取れます.

あっ! そうでした。失礼いたしました。

>> そして|Ln(1+u_n(z))|≦2|u_n(z)|の不等号はどうしてなりたつのでしょうか?
> - 1/2 \leq x \leq 1/2 について, |\log(1 + x)| \leq 2|x| を
> 示すのです.
> 0 \leq x のときは 0 \leq \log(1 + x) \leq x \leq 2x
> だから簡単ですね.

そうですね。

> - 1/2 \leq x \leq 0 のとき, 2x \leq \log(1 + x) \leq 0
> を示せば良い. \log(1 + x) - 2x が - 1/2 \leq x \leq 0 で
> 単調減少で, x = 0 で零になることを示して下さい.

g(x):=(ln(1+x)-2x)とするとg(x)'=1/(1+x)-2だから-1/2≦x≦0での増減表は
x,　　-1/2,　…,　0
g(x)',　0,　　　-,　-1
g(x),-ln2+1,↓,　　0
となりますから
-1/2≦x≦0でg(x)≧0と言えるから-1/2≦x≦0で2x≦ln(1+x)と言えますね。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/graph075.jpg
でいいのですね。
所で実数関数ln(1+x),2xにて不等式|ln(1 + x)|≦2|x|が成立てば
複素関数|ln(1+z)|≦2|z|でも成立つとどうして言えるのでしょうか?

>> そしてg(z):=Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)|がD上で絶対収束する事は
>> Weierstrass'のM-testから分かりますが
>> 更にg(z)がD上で正則となるのはどうして言えるのでしょうか?
> 正則関数の一様収束極限はまた正則関数になるからです.

つまり
『Letφ≠A,B⊂C and Map(A,B)⊃{f_n}n∈N be holomorphic on D⊂A.  Then
lim_{n→∞}f_n is also holomorphic on D』という命題があるのですね。

> # 絶対収束するだけでなく一様収束でもあることが大事です.

上の命題で必要ですものね。

>> そしてどうしてg(z)がD上で絶対収束&正則なら
>> exp(g(z))という変形が可能なので絶対収束性&正則となるのでしょうか?
> g(z) が正則関数であれば, \exp(g(z)) も正則関数です.

そうですね。g(z)がD上で微分可能ならexp(g(z))もD上で微分可能ですからね。

> 一方, \log は連続関数ですから,
>  g(z)
>   = \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z))
>   = \lim_{M \to \infty} \sum_{n=N}^M \log(1 + u_n(z))
>   = \lim_{M \to \infty} \log(\prod_{n=N}^M (1 + u_n(z)))
>   = \log(\lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z)))
> であり,
>  \exp(g(z))
>   = \exp(\log(\lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z))))
>   = \lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z))
> です.

そうですね。この変形は分かりますがこれからどうやって絶対収束性が分かるのでしょうか?

今,exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))=Σ_{k=0}^∞(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))^k/k!
(∵expのTaylor展開公式)だから
exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))のD上での絶対収束性を言うには
Σ_{k=0}^∞|(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))^k/k!|がD上で収束する事を言わねばなりませんよね。
どうすればΣ_{k=0}^∞|(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))^k/k!|の収束性が言えますでしょうか?

>> 更に絶対収束&正則関数同士の積
>> f(z)=Π_{n=1}^{N-1}(1+u_n(z))・exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))
>> までもが絶対収束&正則となる事はどうしてなのでしょうか?
> 正則関数の有限個の積は正則関数だからです.

これはそうですね。納得です。

>> 『(ii) f(z)=0 ⇔ ∃n∈N〓{0};1+u_n(z)=0』についての証明は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__0...
>> でいいのですね。
> 駄目です.
>  \lim_{k \to \infty} \prod_{n=1}^k (1 + u_n(z))
>   = \lim_{k \to \infty} (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z))
>                          \times \prod_{n=1}^{n'+k} (1 + u_n(z)))
> という式は, 意味すら不明です.

これは失礼いたしました。書くなら
lim_{k→∞}Π_{n=1}^k (1+u_n(z))
= lim_{(n'<)k→∞}(Π_{n=1}^{n'-1}(1+u_n(z))×Π_{n=n'}^k(1+u_n(z)))
と書くべきでした。

>  \lim_{k \to \infty} \prod_{n=1}^k (1 + u_n(z))
>   = \lim_{k \to \infty} (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z))
>                          \times \prod_{n=n'}^k (1 + u_n(z)))
>   = (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z)))
>     \times \lim_{k \to \infty} \prod_{n=n'}^k (1 + u_n(z))
> と書きたかったのでしょうか.

はい,さようでございます。

> ともあれ, テキストには, 無限積は
>  f(z) = (\prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z))) \times \exp(g(z))
> と定義するが, \exp(g(z)) は零にならないので,
> f(z) = 0 となるのは \prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z)) = 0
> となる時に限り, それは ( N-1 までの) どれかの n について,
> 1 + u_n(z) = 0 となる場合である, とちゃんと書いてあります.

そうでした。大変ありがとうございます。

>> 『(iii) f'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^∞u'(z)/(1+u_n(z))』の証明では
>> f'(z)/f(z)=(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))'/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
>> =d/dz(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
>> (∵Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/はD上で一様収束する(∵??)ので項別微分可能)
>> =Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
>> となっていますがどうすればΠ_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/が
>> D上で一様収束する事が分かりますでしょうか?
> そういう変形ではないのです.
> そもそも無限積の微分について,
> (d/dx)(\prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z)))
> を \prod_{n=1}^\infty (d/dx)(u_n(z)) などと
> するというのは, (fg)' を f'g' とするようなものです.

ごもっともです。

>  f'(z)/f(z)
>   = (d/dz)(\log(f(z)))
>   = (d/dz)(\log((\prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z))) \times \exp(g(z))))
>   = (d/dx)((\sum_{n=1}^{N-1} \log(1 + u_n(z))) + \log(\exp(g(z))))
>   = \sum_{n=1}^{N-1} (d/dz)(\log(1 + u_n(z))) + (d/dz)(g(z))
>   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
>     + (d/dz)(\sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)))
> 正則関数の無限和 \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)) が
> 一様収束すれば, その導関数の無限和 \sum_{n=1}^\infty (\log(1 + u_n(z)))'
> も一様収束し, (\sum_{n=1}^\infty \log(1 + u_n(z)))' に等しいことは,
> 106 page の定理 5.3 で証明されています.

『Σ_{n=N}^∞ d/dz(1+u_n(z))がD上で一様収束するならΣ_{n=N}^∞(1+u_n(z))は項別微分可能で
d/dzΣ_{n=N}^∞(1+u_n(z))=Σ_{n=N}^∞ d/dz(1+u_n(z))』
という命題は使えないのでしょうか?

> 結局,
>  f'(z)/f(z)
>   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
>     + (d/dz)(\sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)))
>   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
>     + \sum_{n=N}^\infty (d/dz)(\log(1 + u_n(z)))
>   = \sum_{n=1}^\infty (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
> となるわけです.

これは納得です。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_3__01.jpg
でいいのですね。

>>> 定理 5.13 の証明には
>>>  \sin(\pi x) = (\pi x) \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
>>> の右辺が, 任意の複素数 x について絶対収束し,
>> Weierstrass'のM-testを利用されたのだと思います
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
>> としてみたのですが
> やはり Weierstrass の優級数判定法が理解できていない
> ようですね.

すみません。

>> dominant seriesをどのようにとればいいのでしょうか?
> \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2) = \prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z))
> と考えるわけですから, u_n(z) = - z^2/n^2 であり,
> |z| \leq R において, |u_n(z)| \leq M_n となる M_n としては,
> M_n = R^2/n^2 とすることになります.

了解いたしました。

>>> 更に, \S 5.3 (b) の結果から,
>>> それを「項別対数微分」しても良いことが分かっています.

これは確かに便利ですね。

>> すいません。「項別対数微分」とは
>> d/dx((πx)Π_{n=1}^∞ (1 - x^2/n^2))=(πx)Π_{n=1}^∞ d/dx(1 - x^2/n^2)
>> が成立つという意味でしょうか?
> 違います.
>  (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)))
>   = \sum_{n=1}^\infty (d/dz)(\log(1 - z^2/n^2))
> が成り立つということです.

即ち,
『Let f∈Map(D,C) (where D⊂C). Then when d/dz lnΠ_{n=1}^∞f(z)=Σd/dz
lnf(z), Π_{n=1}^∞f(z) is called termwise logarithm differentiable.』
というのが項別対数微分の定義ですね。

>> \S 5.3 (b),p113の何処にその事が記載されているのでしょうか?
> 定理 5.12 の (iii) です.

定理 5.12 の (iii) を使うと
f(z):=πzΠ_{n=1}^∞(1-z^2/n^2),u_n(z):=-z^2/n^2と置くと,
f(z)'/f(z)=Σ_{n=1}^∞u_n(z)'/(1+u_n(z))より
f(z)'/f(z)=Σ_{n=1}^∞2z/(z^2-n^2)となり,
f(z)'/f(z)=1/z+Σ_{n=1}^∞2zn^2/(z^2-n^2)とはならないのですが、何処を間違ってますでしょうか?

> f(z) = \sin(\pi z) = (\pi z) \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)
> に対しては,
>  f'(z)/f(z)
>   = (d/dz)(\log(f(z)))
>   = (d/dz)(\log((\pi z) \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)))
>   = (d/dz)(\log(\pi z) + \log(\prod_{n=1}^\infty(1 - z^2/n^2)))
>   = (d/dz)(\log(\pi z)) + (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty(1 - z^2/n^2)))
>   = 1/z + \sum_{n=1}^\infty (- 2z)/(1 - z^2/n^2)
>   = 1/z + \sum_{n=1}^\infty 2z/(z^2 - n^2)
> となります.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__02.jpg
となったのですが
最後は,1/z + \sum_{n=1}^\infty 2zn^2/(z^2 - n^2)ではないのでしょうか?

所で1/z+d/dz lnΠ_{n=1}^∞(1-z^2/n^2)=1/z+Σ_{n=1}^∞d/dz ln(1-z^2/n^2)で項別対数微
分を使ってあるのですよね。
でも定理 5.12の(iii)の主張はf(z)'/f(z)=Σ_{n=1}^∞u_n(z)'/(1+u_n(z))という式変形が出来るという事
だけですよね。これからどうして項別対数微分が成立つという主張が読み取れるのでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__09.jpg
>> にてΣ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)が一様収束する範囲は
>> 複素平面全体でいいのでしょうか?
> 違います. 任意の正数 R について, |z| \leq R で一様収束です.
> 複素平面全体では *広義* 一様収束です.

複素平面では一様収束になれない理由は何なのでしょうか?

>> > 任意の自然数 r について,
>> > 任意の正数 R について |x| \leq R, x \not\in Z となる範囲で,
>> >  \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
>> > は一様収束します.
>> どうしてΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)ではなく
>> Σ_{n∈Z}(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)の一様収束性を示す事になるのでしょうか?
>  (d/dx)(1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
>   = (-r)(1/(x+n)^{r+1} + 1/(x-n)^{r+1})
> ですから, r を r+1 に変えたものですね.

ありがとうございます。納得です。

>>> 実際,
>>>  \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
>>> が一様収束することを示せば十分ですが,
>> どうして「n \in Z, |n| > R」という範囲での一様収束性議論になるのでしょうか?
> |n| \leq R となる n \in Z は有限個であるからです.
> 有限個の項を除いても, 級数の収束性には影響しません.

これも納得です。ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__15.jpg
という具合にして示せばいいのですね。

>> あと
>> 1/(2iπ) d/dx Σ_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2)
>> から
>> 1/(2iπ) Σ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)
>> の変形はΣ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)が|x|/n<1(?)で
>> 一様収束するから項別微分できるのだと思いますが
>> どのようにして|x|/n<1(?)で一様収束を示せますでしょうか?
> そこに岩波講座『現代数学への入門』「複素関数入門」\S 5.3 (c) 参照
> と書いてありますね. \S 5.3 (b) と併せて読むと,
> 任意の正数 R について, |x| \leq R で絶対収束するし,
> 一様収束でもあり, 正則な関数で, 対数微分に関する
> 項別微分の公式が成立することが分かります.
> # 結局は Weierstrass の優級数判定法です.

これも
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__14.jpg
という具合にして示せばいいのですね。