ご回答誠に有難うございます。

>> そうしますと
>> cos(πx)/sin(πx)=1/dx lnΠ_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)+1/x
>> となりますよね?
> 1/dx ではなくて, d/dx ですよ.

失礼いたしました。

>  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
>   = (1/\pi) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1-x^2/n^2))) + 1/(\pi x)
> です.

ふーむ,そうですか。。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__07.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__08.jpg
という具合になって
h_1(t)=-1/2・1/(2πi)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)-1/(x-n))が出てこないのですが何処を勘違いしてますでしょうか?

>> 『Map(A,C)∋f is continuous at a∈C.
>> ⇔
>> for∀{x_n}∈{{x_n}∈2^C;lim_{n→∞}x_n=a},
>> f(lim_{n→∞}x_n)=lim_{n→∞}f(x_n)』
>> という命題を使えばいいのですね。
> ちゃんと分かって記号を使っていますか.
> {x_n}_{n=1}^\infty は, 自然数全体 N 上の
> 複素数 C 値関数であるとするなら, C^N の元でしょう.

C^Nは配置集合の事ですね。つまり,{x_n}_{n=1}^∞∈Map(N,C)という訳ですね。
今,x∈Map(N,C)と考えているのでx_1,x_2,…はCの元です。
従って,{x_n}∈2^Cとしたのですが誤ってますでしょうか?

> ともあれ, f が連続であり, \lim_{n \to \infty} x_n = a であれば,
>  \lim_{n \to \infty} f(x_n)
>  = \lim_{x \to a} f(x)
>  = f(a)
>  = f(\lim_{n \to \infty} x_n)
> であるのは当たり前です.

了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
>> ですね。
> 証明も理解できましたか.
> \S 5.3 (b) も読みましたか.

すいません。読んでおりませんでした。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_b__00.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_b__01.jpg
ですね。

fがD上で絶対収束する事は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__00.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__01.JPG
という具合に出来ましたが『十分大きいNをとればM_n≦1/2 (n≧N)とできる.』
と説明になってるのですがこれはどうしてなのでしょうか?

そして|Ln(1+u_n(z))|≦2|u_n(z)|の不等号はどうしてなりたつのでしょうか?
そしてg(z):=Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)|がD上で絶対収束する事はWeierstrass'のM-testから分かりますが
更にg(z)がD上で正則となるのはどうして言えるのでしょうか?

そしてどうしてg(z)がD上で絶対収束&正則ならexp(g(z))という変形が可能なので絶対収束性&正則となるのでしょうか?

更に絶対収束&正則関数同士の積f(z)=Π_{n=1}^{N-1}(1+u_n(z))・exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))ま
でもが絶対収束&正則となる事はどうしてなのでしょうか?

『(ii) f(z)=0 ⇔ ∃n∈N＼{0};1+u_n(z)=0』についての証明は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__02.jpg
でいいのですね。

『(iii) f'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^∞u'(z)/(1+u_n(z))』の証明では
f'(z)/f(z)=(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))'/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
=d/dz(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
(∵Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/はD上で一様収束する(∵??)ので項別微分可能)
=Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
となっていますがどうすればΠ_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/がD上で一様収束する事が分かりますでしょうか?

それと
どういう手順でf'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^{N-1}u'_n(z)/(1+u_n(z))+g'(z)と出来るのでしょうか?
そしてg(z)=Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))|が項別微分できるそうなのですが
それならg(z)がD上で一様収束する事はどうして分かるのでしょうか?
一応,
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_3__00.jpg
となったのですがどうすれば
f'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^{N-1}u_n(z)'/(1+u_n(z))+g(z)'と出来ますでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
>> をどのように利用すればいいのでしょうか?
> 定理 5.13 の証明には
>  \sin(\pi x) = (\pi x) \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
> の右辺が, 任意の複素数 x について絶対収束し,

Weierstrass'のM-testを利用されたのだと思います
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_00.jpg
としてみたのですがdominant seriesをどのようにとればいいのでしょうか?

> 任意の正数 R について, |x| \leq R で一様収束である
> ことが書かれています.

そうですね。

> 更に, \S 5.3 (b) の結果から,
> それを「項別対数微分」しても良いことが分かっています.

すいません。「項別対数微分」とは
d/dx((πx)Π_{n=1}^∞ (1 - x^2/n^2))=(πx)Π_{n=1}^∞ d/dx(1 - x^2/n^2)
が成立つという意味でしょうか?
\S 5.3 (b),p113の何処にその事が記載されているのでしょうか?

> それらを使えば,
>  (\sin(\pi x))'/\sin(\pi x)
>  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (-2x/n^2)/(1 - x^2/n^2)
>  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty 2x/(x^2 - n^2)
> が成立することは,

複素関数入門「神保道夫著」,p108の式(5.4)を利用すると
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__01.jpg
となるのですね。

> 定理 5.13 の証明の中にも出て来ます.
> 少し変形すれば
>  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n))
> であることも分かります.

えっ? どのようにして複素関数入門「神保道夫著」,p114では
f'(z)/f(z)と1/z+Σ_{n=1}^∞ 2x/(z^2-n^2)が繋げれるのでしょうか?

>>> 途中の計算が間違っていて, 正しくは,
>>>  - 2 i h_1(t)
>>>  = (1/\pi) (d/dx)(\log \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) + 1/(\pi x)
>>>  = (1/\pi) (1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n)))
>>>  = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
>>> です.
>> つまり,
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__04.jpg
>> でいいのですね。
> はい.

了解です。

>> = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
>> ではなくて
>> = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z鐚需0}} (1/(x+n) + 1/(x-n))
>> としなくていいのでしょうか?
> 1/x = (1/2)(1/(x+0) + 1/(x-0)) だから, ちゃんと
> n = 0 のところは 1/x が埋めます.

了解です。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__09.jpg
にてΣ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)が一様収束する範囲は複素平面全体でいいのでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__05.jpg
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__06.jpg
>> でいいのですね。
> いつの間にか, (1/(x+n) + 1/(x-n)) が
> (1/(x+n) - 1/(x-n)) という間違った式になっているので
> 駄目です.

これは失礼いたしました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__10.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__11.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__12.JPG
でいいのですね。

>> ただΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r-1/(x-n)^r)が
> だから, (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r) です.

そうですね。

>> |x|/n<1(?)の範囲で
> そんな出鱈目な範囲には意味がありません.

そうでしたか。

>> 一様収束する事はどうすれば示せますでしょうか?
> 任意の自然数 r について,
> 任意の正数 R について |x| \leq R, x \not\in Z となる範囲で,
>  \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
> は一様収束します.

どうしてΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)ではなく
Σ_{n∈Z}(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)の一様収束性を示す事になるのでしょうか?

Σ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)の一様収束性を示さねば
d/dxΣ_{n∈Z}(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)=Σ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)という変形は
できませんよね?

> 実際,
>  \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
> が一様収束することを示せば十分ですが,

どうして「n \in Z, |n| > R」という範囲での一様収束性議論になるのでしょうか?