ご回答誠に有難うございます。

>> aはNからCへの写像の事でa_nはnのaによる像a(n)を意味するので
>> a_n={0},特に原像が単集合の場合は中括弧を省略してa_n=0と書く。
>> そしてaの原像全体Nの像a(N)もa(N)={0}と書けますよね
>> (複数個の原像の像の中括弧は省略できない)。
> 今, a(N) という集合を考える状況にありません.

そうですか。

>> とずっと思っていたのですが因みに「集合・位相入門(松坂和夫著)」では
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_sequence...
>> と説明されていて,
> そこに数列 (松坂では (a_n)_{n \in N}) とその写像としての
> 値域 (松坂では { a_n }_{n \in N}) とは混同しないように,
> と書いてあるではないですか. 注釈として, 通常の微積分学の
> 書物では (a_n)_{n \in N} を { a_n } (正確には, 私は,
> { a_n }_{n=1}^\infty と書いています) と表すことが多い
> (まあ, 好ましくない, としていますが, それは値域を
> 考慮する必要がある, ごく稀な場合に問題になるだけなので,
> 無用の注意だと思います), とも書いてあるではないですか.
> どんな数列についても, ということを表したい時に,
> 数列の写像としての値域を持ち出すのが間違っています.

つまり,a_1=1,a_2=-1,a_3=1,a_4=-1,…
とb_1=-1,b_2=1,b_3=-1,b_4=1,…
とでは(a_n)≠(b_n)だが{a_n}={b_n}という訳ですね。
つまり,aとbはNを定義域とする写像なのですから
a≠bだが{a_n}={b_n}とも書けますよね。
まぁ書くとすれば
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop198_25__00.jpg
と書けばいいのですね。これを簡略化するために(a_n)_{n∈N}という風に円括弧を使ってあるのですね。

>> 所で実数関数ln(1+x),2xにて不等式|ln(1 + x)|≦2|x|が成立てば
>> 複素関数|ln(1+z)|≦2|z|でも成立つとどうして言えるのでしょうか?
> それはごもっとも. z は複素数でしたね.
> 有限増分の不等式から, |z| \leq 1/2 のとき,
>  |\log(1 + z)|
>   = |\log(1 + z) - \log(1)|
>   \leq (max_{0 \leq t \leq 1} |1/(1 + t z)|) |(1+z) - 1|
>   \leq 1/(1 - 1/2) |z| = 2|z|
> とするべきでした.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_1__00.jpg
とすればいいのですね。グラフも増減表も不要でしたね。

>> つまり
>> 『Letφ≠A,B⊂C and Map(A,B)∋{f_n}_{n∈N} be holomorphic on D⊂A.  Then
>> lim_{n→∞}f_n is also holomorphic on D』という命題があるのですね。
> その収束が(広義)一様収束であるとき, です.
> 106 page の定理 5.3 をお読み下さい.

『Let φ≠A,B⊂C and Map(A,B)∋{f_n} converge uniformly in the wider sense
on D⊂A and f_n be holomorphic for ∀n∈N on D.  Then
(i) lim_{n→∞}f_n(z) is also holomorphic on D,
(ii) {d^k/dz^k f_n(z)} converges uniformly in the wider sense on D,
(iii) lim_{n→∞}d^k/dz^k f_n(z)=d^k/dz^k lim_{n→∞}f_n(z) on D』
ですね。

>>> # 絶対収束するだけでなく一様収束でもあることが大事です.
>> 上の命題で必要ですものね。
> 必要なことはちゃんと書いておきましょう.

了解いたしました。

>>> 一方, \log は連続関数ですから,
>>>  g(z)
：
>> そうですね。この変形は分かりますがこれからどうやって
>> 絶対収束性が分かるのでしょうか?
> |u_n(z)| \leq M_n で, \sum_{n=1}^\infty M_n が収束するなら,
> \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)) が絶対収束し, 一様収束する
> ことは Weierstrass の優級数判定法を用いて既に示しました.
> それが \prod_{n=N}^\infty (1 + u_n(z)) が, そして,
> \prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z)) が絶対収束するということの意味です.

どうもありがとうございました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__00.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__01.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__02.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__03.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__04.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__05.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__06.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__07.jpg
という具合に上手くいきました。

>> 今,exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))=Σ_{k=0}^∞(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))^k/k!
>> (∵expのTaylor展開公式)だから
>> exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))のD上での絶対収束性を言うには
>> Σ_{k=0}^∞|(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))^k/k!|が
>> D上で収束する事を言わねばなりませんよね。
> そんな必要はありません. 言葉の定義がどうなっているか,
> もう一度 111 page からの (a) 無限積 の内容をお読み下さい.

p112の定義5.10
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def5_10_p112.jpg
を使えばいいのですね。
ところで無限積の定義についてですが
『∀n∈Nに対してa_n≠0)で∃!α∈C;α=Π_{n=1}^∞ a_nなら,Π_{n=1}^∞ a_nはαに収束すると言い,
∀n∈Nに対してa_n≠0)でα=Π_{n=1}^∞ a_nなるα∈Cが存在しない時は,Π_{n=1}^∞

 a_nは振動すると言い,
∀n∈Nに対してa_n≠0)の時,α:=Π_{n=1}^∞ a_n=∞なら,Π_{n=1}^∞ a_nは∞に発散すると言い,
∃n∈N;a_n=0)の時,Π_{n=1}^∞ a_nは0に発散すると言う』
で正しいでしょうか?

>> 定理 5.12 の (iii) を使うと
>> f(z):=πzΠ_{n=1}^∞(1-z^2/n^2),u_n(z):=-z^2/n^2と置くと,
> ここに (\pi z) が付いています.
：
> 少しの書き間違いを修正できないようでは駄目です.

ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__03.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__04.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__05.jpg
ところで1/z+Σ_{n=1}^∞ 2z/(z^2-n^2)=πcot(πz)と変形できるのは何故でしょうか?

そして
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__06.jpg
にてf(z)=Csin(πz)と定数Cが出てくるのは何故なのでしょうか?

あと,z=0でのfの微分係数f(0)'がπになる事からC=1を導き出しているようですが
どうしてf(0)'=πと言えるのでしょうか?

>> 所で1/z+d/dz lnΠ_{n=1}^∞(1-z^2/n^2)=1/z+Σ_{n=1}^∞d/dz ln(1-z^2/n^2)
>> で項別対数微分を使ってあるのですよね。
>> でも定理 5.12の(iii)の主張はf(z)'/f(z)=Σ_{n=1}^∞u_n(z)'/(1+u_n(z))
>> という式変形が出来るという事
>> だけですよね。これからどうして項別対数微分が成立つという主張が
>> 読み取れるのでしょうか?
> 実際 (d/dz)(\log(1 + u_n(z))) = (u_n'(z))/(1 + u_n(z)) ですから,
> 項別対数微分ではありませんか.

ごもっともです。

>>> 違います. 任意の正数 R について, |z| \leq R で一様収束です.
>>> 複素平面全体では *広義* 一様収束です.

一様収束⇒広義一様収束
は成立つが逆は一般には成立たないのですよね。

f∈Map(A,C)(但しA⊂C)が(A⊃)B上で広義一様収束とは
「∀z∈Bに対してB⊃∃F(z):閉近傍; fがF(z)で一様収束する」
という意味ですよね。
なのでf∈Map(A,C)(但しA⊂C)が(A⊃)B上で広義一様収束ではあるが一様収束ではないとはどのように言えるのでしょうか?

>> 複素平面では一様収束になれない理由は何なのでしょうか?
> \sum_{n=1}^\infty R^2/n^2 の第 N 項からの後の誤差項
> |\sum_{n=N}^\infty R^2/n^2| は R^2 に比例するので,
> 同じ正数で一様に抑えることはできません.

でも広義一様収束ではあるのですよね?
広義一様収束にどのような制約が付いたものを一様収束というのでしょうか?