"Y.N." wrote in message <c8agc1$q4a$1@nr1.vectant.ne.jp>...
> M_SHIRAISHI さんのメッセージ:
>> 訂正。m(_ _)m
>> 
>>>eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message >>news:<800c7853.0405151646.44cfa850@posting.google.com>...
>>>
>>># △x を無限小にしたら、d^y＝f''(x)dx^2 等の「高階の微分に関しての等式」が
>>>導かれるのはアッタリマエのことだ。
>> 
>> △x を無限小にしても、dy：＝f'(x)・△x という「アホな定義」を採る限り、
>> d^y＝f''(x)dx^2 等の「高階の微分に関しての等式」は、やはり、導かれない。
>
>えっと…なぜなんでしょうか？
>Δx＝x_1−x だからですか(‥)？


［y＝f(x) ならば、d^2＝f''(x)dx^2 である］---- この命題は正しい。

しかし、dy＝f'(x)・△x という“アホな定義”を採る限り、上記の命題は、
決して、導かれない。


dy＝f'(x)・△x という“アホな定義”を採れば、

d(dy)＝d{f'(x)・△x}＝{f'(x)・△x}’・△x ＝{f''(x)・△x ＋ f'(x)・(△x)'}・△x

ここで、定義により、△x ＝ x_1−x.  そして、如何に x_1 を x に近づけようとも、
△x は、あくまで、 x_1−x.  

従って、(△x)'＝(x_1−x)'＝−1.

# このことは（Cauchy による）導関数の定義に立ち返って計算しても確認することが
できる：−　

(△x)'＝(x_1−x)'＝lim{△x→0}〔[{x_1−(x＋△x)}−{x_1−x}]／△x 〕
＝lim{△x→0}〔(−△x)／△x〕＝ −1

従って、

{f''(x)・△x ＋ f'(x)・(△x)'}・△x ＝ {f''(x)・△x −f'(x)}・△x
＝f''(x)・(△x)^2−f'(x)・△x

結局、d(dy) ＝ f''(x)・(△x)^2−f'(x)・△x

△x ＝ dx であったとしても、d(dy) ＝ f''(x)・(dx)^2−f'(x)・dx

△x→0 では、△x よりも (△x)^2 のほうが“高位の無限小”となるので、
f''(x)・(△x)^2 は無視され、d(dy) ＝ −f'(x)・△x という、望んでも
いない「おぞましき等式」が得られてしまう！！！


それもこれも、dy＝f'(x)・△x などという“アホな定義”を採ったが故の
ツケであり、dy＝f'(x)・△x などという“アホな定義”を採用する限り、
N Bourbaki ではないけれども、「高階の微分は*再建*できない」。