ご回答誠に有難うございます。

>> とりあえず混乱の中やってみました。
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol1...
> 複素変数 s の Gamma 関数 \Gamma(s) を考えているので,
> \Gamma(s+h) = \int_0^\infty x^{s+h-1} \exp(-x) dx,
> \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx, は複素数です.

さようです。

> 最後の所で, (x^h - 1)/h - \log x
> = (\exp(h \log x) - 1)/h - \log x の - \log x が抜けているので,
> Maclaurin 展開の所がおかしくなっていますが,

そうでした。失礼いたしました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol28.jpg
でいいのですね。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
> = \sum_{k=2}^\infty (h^{k-1} (\log x)^k)/k! となるのは良い.
> 勿論, 和を積分記号の外に出すことを正当化することも
> 出来ますが, Riemann 積分の範囲では, それは簡単ではない.

そうなのですか。。

> そういった面倒を避けるために, 折角,
>  |(x^h - 1)/h - \log x|
>  \leq |\sum_{k=2}^\infty (h^{k-1} (\log x)^k)/k!|
>  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |log x|^k / k!
>  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{k=0}^\infty |h|^k |\log x|^k / (k+2)!
>  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{k=0}^\infty |h|^k |\log x|^k / k!
>     = |h| |\log x|^2 \exp(|h| |\log x|)
> である, という話をしていたのに, 無視するのですか.

すいません。
『多分, 分かりやすいのは,
 |(x^h - 1)/h - \log x|
  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |\log x|^k/k!
  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{n=0}^\infty (|h||\log x|)^n/n!
        = |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
として, 0 < x \leq 1 において
 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}
となり, 1 \leq x において
 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (\log x)^2 x^{|h|}
となることから,
 |(\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x}
dx|
  \leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
             + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx)
  \leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
             + \int_1^\infty x^{Re(s)+|h|+1} e^{-x} dx)
となることを用いるのです.』

のくだりがどうしても意味が分かりませんでした。
とりあえず
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol29.jpg
となりましたがここから
|(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(-ln(x))^2 x^-|h| (if 0<x≦1),
|(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(ln(x))^2 x^|h| (if 1<x)
をどのように利用して
lim_{h→0}∫_0^∞|h||ln(x)|^2 exp(|h||ln(x)|)|x^{s-1}exp(-x)|dx
から
lim_{h→0}Σ_{k=0}^∞ |h|^{k-1}/k!+|∫_0^∞(ln(x))^k x^{s-1}exp(-x) dx
へ繋げれるのでしょうか?

> で, 和を外に出すとして, h は複素変数ですから,
> 絶対値の外に出すなら, |h| にしておかないといけない.

これはそうですね。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol30.jpg
でいのですね。

>  |\int_0^1 (\log x)^k x^{s-1} \exp(-x) dx|
>  \leq \int_0^1 (- \log x)^k x^{Re(s)-1} dx
> とするのは良いですが, 最後の積分の値は
>    = k!/(Re(s))^{k+1}
> が正しく, k!/Re(s) ではありません.

そうでした。どうもありがとうございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
> 数学的帰納法でも使って, もう少しまとめましょう.

∫_0^1(-ln(x))^k x^{Re(s)-1}dx=k!/Re(s)^{k+1}に於いて
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol31.jpg
としてみたのですが
k=1の時にどうすれば1!/Re(s)^{1+1}が導けますでしょうか?
そして
k+1の時に何処で帰納法の仮定∫_0^1(-ln(x))^k x^{Re(s)-1}dx=k!/Re(s)^{k+1}
を使えばいいのでしょうか?

> ともあれ, (和を積分の外に出すことに目を瞑って,)
> |(\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} \exp(-x) dx|
> \leq \sum_{k=2}^\infty
>          |h|^{k-1}/k! \times
>          ( k!/(Re(s))^{k+1} + \int_1^\infty x^{k+Re(s)-1} \exp(-x) dx)
> は良いとしても, それを
>  (k!/(Re(s))^{k+1} + \int_1^\infty x^{k+Re(s)-1} \exp(-x) dx)
>  \times \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1}/k!
> のようには書き換えられないことは, 言うまでもありません.

そうでした。Σ_{k=2}^∞の添数kは括弧の中(k!/(Re(s))^{k+1} + \int_1^\infty x^{k
+Re(s)-1} \exp(-x) dx)
にも係ってましたね。