遅くなりまして申し訳ありません。ご回答誠に有難うございます。

正確には
「Γ関数は{s∈C;Re(s)>1}で正則である事を示せ」
↓
「Γ関数は{s∈C;Re(s)>0}で正則である事を示せ」
でしたね。

>>> 私の示した式は
>>>  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
>>> であって,
>>>  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |log x|^2 x^{|h|}
>>> ではありません. その直ぐ後に,
>>>  0 < x < 1 では |\log x| = - \log x だから,
>>>  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}
>>> だと書いてあったでしょうに.
>> すいません。ちょっと混乱してます。
> 確かに.

すいません。もう一度仕切りなおしさせて下さい。
証明の方針は
『0≦|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|
≦|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞(ln(x))^2 x^{Re(s)
+|h|-1} e^-x dx)
≦|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1}
e^-x dx)
→0 (as h→0)
となる(∵要証明)のでハサミウチの定理から
lim_{h→0}|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|=0
が言え,
lim_{h→0} (Γ(s+h)-Γ(s))/h=∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}e^-x dx ∈Cとなる』
という訳ですよね。

これの後半部分
『lim_{h→0}|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|=0
が言え,
lim_{h→0} (Γ(s+h)-Γ(s))/h=∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}e^-x dx ∈Cとなる』
は
「lim_{z→0}(f(z)-g(z))=0かつlim_{z→0}g(z)が収束するなら
lim_{z→0}f(z)=lim_{z→0}g(z)」という命題を使われているのでしょうか(このような命題があるのか知りませんが)?

この命題は一見当たり前かなと思えそうですが実際証明できませんでした。証明はどうすればいいのでしょうか?

更に
∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx∈R、∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
dx∈Rなら
|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
x dx)
→0 (as h→0)
と主張されているようですが,喩え
∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx∈R、∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
dx∈R
でも
|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
x dx)
→0 (as h→0)
とどうして言えるのでしょうか?

|h|→0 (as h→0)であるが
(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
dx)→∞ (as h→0)
でとなる場合だってあるかもしれませんよね?

|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
x dx)
→0 (as h→0)
の証明には
|(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(-ln(x))^2 x^-|h| (if 0<x≦1)
|(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(ln(x))^2 x^-|h| (if 1<x)
を用いるように仰っていますがそもそもこれをどのように利用するのでしょうか?

>> これはArchimedean principleから言えるのですね。
> どのように言うのですか.

「0＜x,0＜aなら必ず-log(x)≦Ax^-aなる0＜Aが存在する」を示せばいいのですから
f(x):=Ax^-a+ln(x)と置いた時にf(x)>0を示せばいいので
f(x)=Ax^-a+ln(x)の時,
f'(x)=-aAx^{-a-1}+1/xなので
(f'(x)=)-aAx^{-a-1}+1/x=0とすると
x=(Aa)^{1/a},即ち,x^a=aA…(*)
x=Ax^-a+ln(x)をf(x)に代入してみると
f((Aa)^(1/a)) = A/x^a + logx
= A/(aA) + log{(Aa)^(1/a)}　　（∵(*)よりx^a=aA）
= 1/a + (1/a)(logAa)
= (1/a)(1+logAa)
ここでA:=e/aと採れば(f((Aa)^(1/a))>0となるので)いい事が分かりますね。