Re: Γ関数は{s∈C;Re(s)>1}で正則である事を示せ
工繊大の塚本と申します.
In article <5a3748a0-9d04-4ca1-ba9e-27193ea8a6cb@k16g2000vbq.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Γ関数は{s∈C;Re(s)>1}で正則である事を示したく下記のようにしたのですが
Lebesgue 積分で考えると少し簡単になるのですが,
貴方の遣り方で考えることにしましょう.
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol1__1537.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2__1539.JPG
> 5箇所だけそうなる理由が分かりません。
色々と間違っているところも見受けられますが,
# 何故 floor brackets の記号が出てくるのでしょう.
先ず,
|\int_1^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
\leq \int_1^\infty |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
とすると, 1 \leq x において 0 \leq log x < x ですから
\leq \int_1^\infty x^{Re(s)} e^{-x} dx
となりますが, 自然数 N について Re(s) \leq N であれば,
\leq \int_1^\infty x^N e^{-x} dx
となります. これが広義積分として収束することを示せば良い.
出来ますか?
次に, 0 \leq x \leq 1 で 0 < e^{-x} \leq 1 ですから,
|\int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
\leq \int_0^1 |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
\leq \int_0^1 (- log x) x^{Re(s)-1} dx
ですが, 0 < a < 1 について,
\int_a^1 (- log x) x^{Re(s)-1} dx
= [1/(Re(s)) (- log x) x^{Re(s)}]_a^1
+ 1/(Re(s)) \int_a^1 x^{Re(s)-1} dx
= 1/(Re(s)) (log a) a^{Re(s)-1} + (1/(Re(s)))^2 (1 - a^{Re(s)})
となるので, これが a \to +0 で有界であることを示せば良い.
出来ますか?
これらのことから \int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx の
収束が示されます.
さて, h を十分に 0 に近い複素数とするとき,
(\Gamma(s + h) - \Gamma(s))/h
- \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
= (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
- \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx)
- \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
= \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
であり, x^h = e^{h \log x} = \sum_{k=0}^\infty (h \log x)^k/k!
ですから,
(x^h - 1)/h - \log x = \sum_{k=2}^\infty h^{k-1} (\log x)^k/k!
というのは結構ですが, そのまま放り込んで, 和を外に出して,
\int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
= \sum_{k=2}^\infty h^{k-1}/k! \times
\int_0^\infty (\log x)^k x^{s-1} e^{-x} dx
とすれば話が済むわけではありません.
和を外に出しても良いことや, 最終的にそれが収束して,
h \to 0 での極限が 0 になることをどう示しますか?
# (x^h - 1)/(h - \log x) となっているのは何故?
多分, 分かりやすいのは,
|(x^h - 1)/h - \log x|
\leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |\log x|^k/k!
\leq |h| |\log x|^2 \sum_{n=0}^\infty (|h||\log x|)^n/n!
= |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
として, 0 < x \leq 1 において
|(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}
となり, 1 \leq x において
|(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (\log x)^2 x^{|h|}
となることから,
|(\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
\leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
+ \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx)
\leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
+ \int_1^\infty x^{Re(s)+|h|+1} e^{-x} dx)
となることを用いるのです.
最後の式の二つの広義積分が収束することを示せば,
\lim_{h \to 0} (\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h
が存在して,
\int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
に等しいことが示されます.
広義積分の収束を示せますか?
> どうすればいいのでしょうか?
勿論, 上の議論は大筋を示しただけですから, 後は
貴方が残りを埋める必要があります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
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