工繊大の塚本です.

In article <81211af7-52cd-4f21-ad0e-6f28ce68479f@hg8g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> とりあえず混乱の中やってみました。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol19.jpg

複素変数 s の Gamma 関数 \Gamma(s) を考えているので,
 \Gamma(s+h) = \int_0^\infty x^{s+h-1} \exp(-x) dx,
 \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx, は複素数です.

最後の所で, (x^h - 1)/h - \log x
 = (\exp(h \log x) - 1)/h - \log x の - \log x が抜けているので,
 Maclaurin 展開の所がおかしくなっていますが,

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol20.jpg

 = \sum_{k=2}^\infty (h^{k-1} (\log x)^k)/k! となるのは良い.

勿論, 和を積分記号の外に出すことを正当化することも
出来ますが, Riemann 積分の範囲では, それは簡単ではない.

そういった面倒を避けるために, 折角,

  |(x^h - 1)/h - \log x|
  \leq |\sum_{k=2}^\infty (h^{k-1} (\log x)^k)/k!|
  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |log x|^k / k!
  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{k=0}^\infty |h|^k |\log x|^k / (k+2)! 
  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{k=0}^\infty |h|^k |\log x|^k / k!
     = |h| |\log x|^2 \exp(|h| |\log x|)

である, という話をしていたのに, 無視するのですか.

で, 和を外に出すとして, h は複素変数ですから,
絶対値の外に出すなら, |h| にしておかないといけない.

  |\int_0^1 (\log x)^k x^{s-1} \exp(-x) dx|
  \leq \int_0^1 (- \log x)^k x^{Re(s)-1} dx

とするのは良いですが, 最後の積分の値は

    = k!/(Re(s))^{k+1}

が正しく, k!/Re(s) ではありません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol21.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol22.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol23.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol24.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol25.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol26.jpg

数学的帰納法でも使って, もう少しまとめましょう.

ともあれ, (和を積分の外に出すことに目を瞑って,)

 |(\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} \exp(-x) dx|
 \leq \sum_{k=2}^\infty
          |h|^{k-1}/k! \times
          ( k!/(Re(s))^{k+1} + \int_1^\infty x^{k+Re(s)-1} \exp(-x) dx)

は良いとしても, それを

  (k!/(Re(s))^{k+1} + \int_1^\infty x^{k+Re(s)-1} \exp(-x) dx)
  \times \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1}/k!

のようには書き換えられないことは, 言うまでもありません.
 k についての和の中身の k によって変化する量を
和の外に出して何をしようというのですか.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol27.jpg
> という具合に一応最後まで証明できた(?)のですが

だから, 全然駄目です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol20.jpg
> での(∵??)の箇所の変形の理由付けが分かりません。
> どうしてΣ_{k=2}^∞ h^{k-1}/k!を∫の外に括りだせるのでしょうか?

括り出さないで積分を評価しましょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp