ご回答誠に有難うございます。

>> >  \leq \int_1^\infty x^N e^{-x} dx
>> > となります. これが広義積分として収束することを示せば良い.
>> > 出来ますか?
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol0...
>> で宜しいでしょうか?
> その遣り方では, lim_{c \to \infty} c^N/e^c = 0 も示さないといけないし,

えっ、それはどうしてでしょうか?

>>> |\int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
>>>  \leq \int_0^1 |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
>> ここの不等号はどうして成り立つのでしょうか?
> |\int_1^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
>  \leq \int_1^\infty |(\log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
> の方には疑問を持たないのに,

これは積分の性質から言えるのと思いますが。

> こちらには疑問を持つのですか.

どうして成り立つのでしょうか?

>> > さて, h を十分に 0 に近い複素数とするとき,
>> > (\Gamma(s + h) - \Gamma(s))/h
>> >  - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>> >  = (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
>> >            - \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx)
>> >     - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>> >  = \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>> 最後のはどのようにして変形されたのでしょうか?
> (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
：
>  = \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx

どうもありがとうございます。

>> > 多分, 分かりやすいのは,
>> > |(x^h - 1)/h - \log x|
>> >  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |\log x|^k/k!
>> >  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{n=0}^\infty (|h||\log x|)^n/n!
>> >        = |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
>> 最後の不等式はどうして成り立つのでしょうか?
> k \geq 2 のとき, 1/k! \leq 1/(k-2)! ですから.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol09.jpg
となってしまったのですがどうすれば分母の(n+1)(n+2)が消せますでしょうか?

>> hやxの大きさによっては逆に小さくなるかも知れませんよね?
> ありえません.

例えばf(x):=|h|(ln(x))^2 x^|h|-|(x^h-1)/h-ln(x)|とすると
h:=-0.1でx:=0.001の時,f(0.001)=-0.653348589と負になるので
|(x^h-1)/h-ln(x)|>|h|(ln(x))^2 x^|h|となってしまいますが、、、

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol0...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol0...
>> となったのですが
>> 「≦|h||ln(x)|^2Σ_{n=0}^∞(|h||ln(x)|)^n/n!」と
> k-2 = n と置いて書き換えるだけ.

既述しておりますが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol09.jpg
となってしまったのですがどうすれば分母の(n+1)(n+2)が消せますでしょうか?

> 貴方の記述のその後で, \exp(|h| \ln x) と絶対値を取り払っているのは
> 大きな間違いです. \exp(|h| |\log x|) でないといけない.
> 0 < x < 1 では \log x < 0 ですから,
> \exp(|h| |\log x|)
>  = \exp(- |h| \log x) = (\exp(\log x))^{-|h|} = x^{-|h|}
> となります. 従って,
> |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h|(- \log x)^2 x^{-|h|}
> 一方, 1 < x では |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h|(\log x)^2 x^{|h|}

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol10.jpg
でいいのですね。

>> 「≦|h|∫_0^1(-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1 exp(-x)dx + ∫_1^∞(-ln(x))^2
>> x^{Re(s)+|h|-1 exp(-x)dx」の箇所の変形は
>> どうしてできるのでしょうか?
> 後ろも (- \ln x)^2 になっているのは何故でしょう.
：
>  \leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
>            + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx)

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol11.jpg
となったのですが
「|(∫_0^∞ exp(-x)x^{s+h}dx-∫_0^∞ exp(-x)x^s dx)/h-∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}
exp(-x)dx
=|∫_0^∞ exp(-x)x^{s+h}/h dx-∫_0^∞ exp(-x)x^s/h dx-∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}
exp(-x)dx|」
と変形できるのは何故なのでしょうか?

>> > 広義積分の収束を示せますか?
>> どのようにして収束が示せるのでしょうか?
> \int_1^\infty の方は \log x < x を使えば十分ですね.
> \int_0^1 の方は, どんな正の数 a についても,
> 十分大きな正の数 A に対しては,
> 0 < x < 1 において - log x \leq A x^{-a} となる
> ことを用いれば良い.

ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol12.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol13.jpg
でいいのですね。