ご回答誠に有難うございます。

>> Γ関数は{s∈C;Re(s)>1}で正則である事を示したく下記のようにしたのですが
> Lebesgue 積分で考えると少し簡単になるのですが,

えっそうなのですか? 後で是非お願い致します。

> 貴方の遣り方で考えることにしましょう.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol1...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> 5箇所だけそうなる理由が分かりません。
：
>  \leq \int_1^\infty x^N e^{-x} dx
> となります. これが広義積分として収束することを示せば良い.
> 出来ますか?

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol03.JPG
で宜しいでしょうか?

> 次に, 0 \leq x \leq 1 で 0 < e^{-x} \leq 1 ですから,
> |\int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
>  \leq \int_0^1 |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx

ここの不等号はどうして成り立つのでしょうか?

>  \leq \int_0^1 (- log x) x^{Re(s)-1} dx
> ですが,

0＜x≦1において、
0＜exp(-x)＜1
0≦|ln(x)|＝-ln(x)
|x^{s-1}|＝x^{Re(s)-1}
が成立するから、
≦∫_0^1 |(ln(x))x^{s-1}exp(-x)|dx (但し,Re(s)>1)
≦∫_0^1 (-ln(x))x^{Re(s)-1}dx
なのですね。

> 0 < a < 1 について,
> \int_a^1 (- log x) x^{Re(s)-1} dx
>  = [1/(Re(s)) (- log x) x^{Re(s)}]_a^1
>    + 1/(Re(s)) \int_a^1 x^{Re(s)-1} dx
>  = 1/(Re(s)) (log a) a^{Re(s)-1} + (1/(Re(s)))^2 (1 - a^{Re(s)})
> となるので, これが a \to +0 で有界であることを示せば良い.
> 出来ますか?

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol06.jpg
でいいのですよね。

> これらのことから \int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx の
> 収束が示されます.

1≦x において 0≦log x < x なので
|∫_1^∞ (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
≦∫_1^∞ |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
≦∫_1^∞ x^{Re(s)} e^{-x} dx
となり, 自然数 N について Re(s)≦N であれば,
≦∫_1^∞ x^N e^{-x} dx が収束し
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol05.jpg
従って,∫_1^∞ (log x) x^{s-1} e^{-x} dxは収束

> さて, h を十分に 0 に近い複素数とするとき,
> (\Gamma(s + h) - \Gamma(s))/h
>  - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>  = (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
>            - \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx)
>     - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>  = \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx

すいません。最後のはどのようにして変形されたのでしょうか?

> であり, x^h = e^{h \log x} = \sum_{k=0}^\infty (h \log x)^k/k!
> ですから,
> (x^h - 1)/h - \log x = \sum_{k=2}^\infty h^{k-1} (\log x)^k/k!
> というのは結構ですが, そのまま放り込んで, 和を外に出して,
> \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
>  = \sum_{k=2}^\infty h^{k-1}/k! \times
>                      \int_0^\infty (\log x)^k x^{s-1} e^{-x} dx
> とすれば話が済むわけではありません.
> 和を外に出しても良いことや, 最終的にそれが収束して,
> h \to 0 での極限が 0 になることをどう示しますか?

すいません。どうすればいいかのわかりません。

> # (x^h - 1)/(h - \log x) となっているのは何故?

これは単なる勘違いです。

> 多分, 分かりやすいのは,
> |(x^h - 1)/h - \log x|
>  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |\log x|^k/k!
>  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{n=0}^\infty (|h||\log x|)^n/n!
>        = |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}

最後の不等式はどうして成り立つのでしょうか?
hやxの大きさによっては逆に小さくなるかも知れませんよね?

> として, 0 < x \leq 1 において
> |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}
：
> 最後の式の二つの広義積分が収束することを示せば,

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol07.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol08.jpg
となったのですが
「≦|h||ln(x)|^2Σ_{n=0}^∞(|h||ln(x)|)^n/n!」
と
「≦|h|∫_0^1(-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1 exp(-x)dx + ∫_1^∞(-ln(x))^2
x^{Re(s)+|h|-1 exp(-x)dx」
の箇所の変形はどうしてできるのでしょうか?

> \lim_{h \to 0} (\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h
> が存在して,
> \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
> に等しいことが示されます.
> 広義積分の収束を示せますか?

すいません。どのようにして収束が示せるのでしょうか?