ご回答誠に有難うございます。

>> 『多分, 分かりやすいのは,
>>  |(x^h - 1)/h - \log x|
：
>> となることを用いるのです.』
>> のくだりがどうしても意味が分かりませんでした。
> 何処が分かりませんか.

すいません。分かってきました。

>> とりあえず
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol2...
>> となりましたが
> Re(s) > 0 において,
>  \lim_{h \to 0} |(\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h
>                  - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} \exp(-x) dx|
>  = 0
> を示そうとしています.

そうですね。これが最終目標ですよね。

>> ここから
>> |(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(-ln(x))^2 x^-|h| (if 0<x≦1),
>> |(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(ln(x))^2 x^|h| (if 1<x)
>> をどのように利用して
> 使っているのは
>  \exp(|h||\log x|) = x^{-|h|}   (for 0 < x < 1)
>  \exp(|h||\log x|) = x^{|h|}    (for 1 < x)
> です. これを使えば,
>  \int_0^\infty |\log x|^2 \exp(|h||\log x|) x^{Re(s)-1} \exp(-x) dx
>  = \int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} \exp(-x) dx
>    + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx
>  \leq \int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
>       + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx
> ですから,

そうですね。ここまでは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol35.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol36.jpg
の通り辿り着けました。

>  \int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
> と
>  \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx
> が(十分に小さな |h| に対して)有界であることを言えば良い.

これも納得です。
0<∃h∈C;
∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dxが有界,
∫_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dxも有界
が示せれば
lim_{h→0}(∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx+∫_1^\infty (\log x)^2
x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx)=0
と確かになり証明終了ですよね。

ところでどのようにして
0<∃δ∈R; ∀h∈{h∈C;0<|h|<δ},
∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dxが有界,
∫_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dxも有界
が示せますでしょうか?

>> ∫_0^1(-ln(x))^k x^{Re(s)-1}dx=k!/Re(s)^{k+1}に於いて
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol3...
>> としてみたのですが
>> k=1の時にどうすれば1!/Re(s)^{1+1}が導けますでしょうか?
> 計算が間違っています.
> x^{Re(s)-1} の不定積分は何ですか.

お陰さまで
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol33.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol34.jpg
のように上手くいきました。