ご回答大変有難うございます。

>> そうでしょうね。あるx,yについては|Φ'(x + t(y - x))|が
>> 定義されない場合もあるでしょうね。
>> でも,この定義域Eを凸包の閉包の広げてやれば定義されるのですよね。
> いいえ, 元々 x + t(y - x) が Φ の定義域になければ,
> どうしようもありません. x + t(y - x) が Φ の定義域
> からはみ出さないように, E を上手く取っておかないと
> いけません.

すいません。混乱しております。
Φには始集合があり,そこの中でのx+t(y-x))に対してでしか
|Φ'(x + t(y - x))|は定義されないのですよね。
なのにx+t(y-x)が始集合からはみ出す事があるのでしょうか?
単に始集合からはみ出すなら|Φ'(x + t(y - x))|は定義されない
という丈の事ではないのでしょうか?
x+t(y-x)がΦの始集合内に無いのに|Φ'(x+t(y-x))|が定義される場合があるのでしょうか?

>>> その D は 2×1 (或いは 1×2) 行列値の微分作用素です.
>> なるほど。f=(f_1,f_2) (但し,f_1:R^2→R,f_2:R^2→R)とすると
> 今, 簡単の為に, f は単なる実数値関数としています.
> その f: R^2 → R について,

すいません。

「f=(f_1,f_2) (但し,f_1:R^2→R,f_2:R^2→R)とすると
Df=
[[∂f/∂x,∂f/∂x],
[∂f/∂y,∂f/∂y]]
なのですね。
D^2f=
[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y],
[∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]]
となるのですね。」

↓

「f:R^2→Rとすると
Df=
[[∂f/∂x,∂f/∂x],
[∂f/∂y,∂f/∂y]]
なのですね。
D^2f=
[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y],
[∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]]
となるのですね。」

と書きたかったのでした。

>> Df= [[∂f/∂x,∂f/∂x], [∂f/∂y,∂f/∂y]] なのですね。
>  Df = [[∂f/∂x],
>        [∂f/∂y]]
> と, D を作用させたものは, 2×1 行列になります.

あれ、、

(Df)(a+kt,b+ht)が
[[(∂f/∂x)(a+kt)k,(∂f/∂x)(b+ht)h],
[(∂f/∂y)(a+kt)k,(∂f/∂y)(b+ht)h]]
という2×2行列になるのですかね。

「 (∂Φ_i/∂x_j)(x_1 + t(y_1 - x_1), x_2 + t(y_2 - x_2),
                 ... , x_d + t(y_d - x_d))
を (i, j)-成分とする d×d 行列です.」

とご教示頂いていたのでDfは2×2行列とばかり思ってましたが。。。

>> D^2f= [[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y], [∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]] となるのですね。
> これは, そう表しても良いわけです.

ああ,分かりました。

D^2 f = D(Df)
=
[[∂/∂x],
 [∂/∂y]]
   ・
[[∂f/∂x], [∂f/∂y]]
=
[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y],
 [∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]]
という2×2行列。

D^3 f = D(D^2f)
=
[[∂/∂x],
 [∂/∂y]]
   ・

[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y], [∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2]]
=
[[∂^3f/∂x^3,∂^3f/∂x^2∂y,∂^3f/∂y∂x^2,∂^3f/∂y^2∂x],
 [∂^3f/∂x^3,∂^3f/∂x∂y^2,∂^3f/∂y^2∂x,∂^3f/∂y^3]]
という2×4行列。

D^4 f = D(D^3f)
=
[[∂/∂x],
 [∂/∂y]]
・
[[∂^3f/∂x^3,∂^3f/∂x^2∂y,∂^3f/∂y∂x^2,∂^3f/∂y^2∂x], [∂^3f/∂x^3,∂^3f/
∂x∂y^2,∂^3f/∂y^2∂x,∂^3f/∂y^3]]
=
[[∂^4f/∂x^4,∂^4f/∂x^3∂y,∂^4f/∂y∂x^3,∂^4f/∂y^2∂x^2,∂^4f/∂x^4,∂^4f/
∂x^2∂y^2,∂^4f/∂y^2∂x^2,∂^4f/∂y^3∂x],
[∂^4f/∂x^3∂y,∂^4f/∂x^2∂y^2,∂^4f/∂y^2∂x^2,∂^4f/∂y^3∂x,∂^4f/∂x^3∂y,∂^4f/
∂x∂y^3,∂^4f/∂y^3∂x,∂^4f/∂y^4]]
という2×8行列になるのですね。

よってD^k fは2×2^{k-1}行列になるのですね。

>>> 実数値関数 f について, D^2 f はそうです. D^2 f = [[ ∂^2f/∂x^2,
>>> ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂x∂z ], [ ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2,
：
> どうして三重になっているのでしょうか.

すいません。間違えました。

>  D^2 f = D(Df)
>  = [[∂/∂x],
>     [∂/∂y],
>     [∂/∂z]]
>    ・
>    [[∂f/∂x],
>     [∂f/∂y],
>     [∂f/∂z]]
> なら良いでしょう. 「積」は上手く翻訳する必要があります.

有難うございます。これは1×3行列と3×1行列の積ですよね。

D^2 f = D(Df)
= [[∂/∂x],
   [∂/∂y],
   [∂/∂z]]
   ・
[[∂f/∂x],[∂f/∂y],[∂f/∂z]]
=
[[ ∂^2f/∂x^2,  ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂x∂z ],
 [ ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2,  ∂^2f/∂y∂z ],
 [ ∂^2f/∂z∂x, ∂^2f/∂z∂y, ∂^2f/∂z^2  ]]
という3×3行列。

D^3f =D(D^2f)
=
[[∂/∂x],
[∂/∂y],
[∂/∂z]]
   ・

[[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y,∂^2f/∂x∂z],[∂^2f/∂y∂x,∂^2f/∂y^2,∂^2f/∂y∂z ],
[∂^2f/∂z∂x,∂^2f/∂z∂y,∂^2f/∂z^2]]
=
[[∂^3f/∂x^3,∂^3f/∂x^2∂y,∂^3f/∂x^2∂z,∂^3f/∂y∂x^2,∂^3f/∂y^2∂x,∂^3f/
∂y∂z∂x,∂^3f/∂z∂x^2,∂^3f/∂z∂y∂x,∂^3f/∂z^2∂x],
[∂^3f/∂x^2∂y,∂^3f/∂x∂y^2,∂^3f/∂x∂z∂y,∂^3f/∂y^2∂x,∂^3f/∂y^3,∂^3f/
∂y^2∂z,∂^3f/∂z∂x∂y,∂^3f/∂z∂y^2,∂^3f/∂z^2∂y],
[∂^3f/∂x^2∂z,∂^3f/∂x∂y∂z,∂^3f/∂x∂z^2,∂^3f/∂y∂x∂z,∂^3f/∂y^2∂z,∂^3f/
∂y∂z^2,∂^3f/∂z^2∂x,∂^3f/∂z^2∂y,∂^3f/∂z^3]]
という3×9行列になるのですね。

よってD(D^kf)は3×3^{k-1}行列になるのですね。

>> (D^2 f)(P)は3×3行列ですが((h,k,j),(h,k,j))は3×2行列ですが (D^2
>> f)(P)((h,k,j),(h,k,j))は3×3行列と3×2行列の積ではなくて, [ h, k, j ] (D^2
>> f)(P) [[h], [k], [j]] という1×3行列,3×3行列,
>> 3×1行列の積(1×1行列)を表しているのですね。
> どうでないといけないかは, Taylor 展開で必要になる
> のがどういう項であるかで分かるでしょう.

D^3fが3×9行列だからD^3f((h,k,j),(h,k,j),(h,k,j))は
(h,k,j)(D^3f)・t^(h,k,j,h,k,j,h,k,j) (但し,t^は転置を意味する)
という1×3行列,3×9行列,9×1行列の積(1×1行列)を意味するのですね。

従って,D^kf((h,k,j),(h,k,j),…,(h,k,j)) (但し,((h,k,j),(h,k,j),…,(h,k,j))は
3×3^{k-1}行列)は
(h,k,j)D^kf・t^(h,k,j,h,k,j,…,h,k,j)という1×3行列,3×3^{k-1}行列,3^{k-1}×1行列の積
(1×1行列)を意味するのですね。

>>> 一般に, f が d 変数 x_1, x_2, ... , x_d の 実数値関数のとき, h = (h_1,
>>> h_2, ... , h_d) について, P = (a_1, a_2, ... , a_d) での (D^k f)(P)(h,
>>> h, ... h) は (D^k f)(P)(h, h, ... , h) = Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>>> (∂^k f/∂x_{i_1}∂x_{i_2}…∂x_{i_k})(P) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k} で与えられます.
>> 有難うございます。これがd変数のtの合成関数fのk階微分d^k/dt(f)=(D^k
>> f)(P)(h, h, ... h) の意味だったのですね。
> これが Taylor 展開で必要とされる項です.

了解いたしました。

>> x=(x_1,x_2,…,x_d),y=(y_1,y_2,…,y_d),
>> Φ(x)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)=Φ(ψ_1(t),ψ_2(t),…,ψ_d(t))とすると d変数の
：
> 出て来ます. ま, 工学系の大学一年生は, 半分位, そこで
> 一回は間違いますね.

そうしますと,d^k/dt^k)(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t))はどのように書けますでしょうか?

>>> (D^k f)(P) は k 階の(共変)テンソルで,
>> このd×d行列は共変テンソルと呼ばれるのですね。
> 2階のテンソルは行列と見做すことも出来ますが,
> 高階のテンソルは行列ではありません.
> d^k 個の成分を持つものです.

共変テンソルですか。調べてみたいと思います。

>>> それは R^d の k 個の直積上の多重線形写像だと考えられます.
>> この写像は(R^d)^kから何への写像になるのでしょうか?
> 今は実数値ですね.

了解いたしました。

>>>  Φ(y) = Φ(x + 1(y - x)) = Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y -
：
> Φ(x + t(y - x)) の t についての2階の導関数を
> 求めて, t = 0 としたものを考えるわけです.

つまり,t=0はt=0での微分(係数)を表しているのですね。
t=t_0でのΦ(x + t(y - x))のTaylor展開は
Φ(y) = Φ(x + t_0(y - x))
       = Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_{t=0}・t_0
         + (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・(t_0)^2
         + (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・(t_0)^3
         + …
         + (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・(t_0)^
{n-1}
         + (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・(t_0)^n
となるのですね。

>>>   d(Φ(x + t(y - x)))/dt = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x))
>>> (dψ_i/dt)(t) = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) (y_i - x_i) h_i =
>>> y_i - x_i とおきましょうか.
>> Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x))h_iでいいのでしょうか?
> そうなりますね.

了解いたしました。
d(Φ(x + t(y - x)))/dt=Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x))h_i
d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2
=d/dtΣ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x))h_i
=Σ_{i=1}^d (∂^2Φ/∂x_i^2)(x + t(y - x))h_i^2
d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3
=d/dtΣ_{i=1}^d (∂^2Φ/∂x_i^2)(x + t(y - x))h_i
=Σ_{i=1}^d (∂^3Φ/∂x_i^3)(x + t(y - x))h_i^3
：
d^k(Φ(x + t(y - x)))/dt^k
=d/dtΣ_{i=1}^d (∂^{k-1}Φ/∂x_i^{k-1})(x + t(y - x))h_i
=Σ_{i=1}^d (∂^kΦ/∂x_i^k)(x + t(y - x))h_i^k
となるのですね。

>>> 先ず. Φ(x + t(y - x)) を 1 変数 t の 関数と考えているので, ∂ ではなく
：
> 求める, 微分作用素である, と分かるのであれば,
> (d^2/dt^2)(Φ(x + t(y - x))) でも構いません.

了解いたしました。

>>>   = (d/dt)(Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(x + t(y - x)) h_i)
>> ここは合成関数の微分の公式 「y=f(x_1(t),x_2(t),…,x_n(t))の時,
>> dy/dt=Σ_{i=1}^n ∂y/∂x_idx_i(t)/dtですね。」
> 何回も使ってますね.

はい,そうですね。

>>>  Taylor 展開の k 次の項は, t = 0 として, (1/k!) (D^k Φ)(x)(h, h, ... ,
>>> h) = (1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)
>>> h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k} です. 注意すべきは, k 次の項は, h の成分, h_1
>>> = y_1 - x_1, h_2 = y_2 - x_2, ... , h_d = y_d - x_d の k 次式になっていて,

これはそうですね。h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}部分から確かにk次式になってますね。

>>> O(|y - x|^k) の項である, つまり, 定数 M が存在して, その絶対値が M |y -
>>> x|^k で 押さえられるようなものである, ということです.
>> h_1h_2…h_d=(y_1 - x_1)(y_2-x_2)…(y_d - x_d) |y -
>> x|^k=(√((y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+…+(y_n-x_n)^2))^k ですから
>> M::=max{|y_1 - x_1|,|y_2-x_2|,…,|y_d - x_d|}^kと採ればいいですね。
> やはりお分かりではない.

すいません。

> |h_k| = |y_k - x_k| ≦ |y - x|.

これは|y-x|=Σ_{i=1}^d √|y_i-x_i|^2ですから(∵dot productの定義),そのように言えますね。

>  |(1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>           (∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x) h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_k}|
>  ≦ (1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d
>            |(∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)| |h_{i_1}| |h_{i_2}| … |h_{i_k}|

ここは三角不等式ですね。

>  ≦ ((1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d |(∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)|)
>     |y - x|^k
> ですから,

今,|h_k| = |y_k - x_k| ≦ |y - x|ですからそうですね。

>  M = (1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d |(∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x)|
> と取ることになりますね.

なるほど。有難うございます。これで
|(1/k!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_k = 1}^d(∂^kΦ/∂x_1∂x_2…∂x_k)(x) h_{i_1} h_
{i_2} … h_{i_k}|≦M|x-y|
となるのですね。

>>>   lim_{|h| = |y - x| → 0} |Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k
>>> Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n = 0 となります.
：
> ありますが, それはそんな出鱈目なものとは違います.

すいません。

>  |Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n
>  = (1/n!) |(D^n Φ)(x + θ(y - x))(h, h, ... , h)
>            - (D^n Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n

Φ(y) = Φ(x + 1(y - x)) = Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_
{t=0}・1
+ (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・1^2
+ (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・1^3 + …
+ (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・1^{n-1}
+ (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・1^n
より
Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)
=
Φ(y) = Φ(x + 1(y - x))
= Φ(x + 0(y - x)) + d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_{t=0}・1
+ (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・1^2
+ (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・1^3 + …
+ (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・1^{n-1}
+ (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・1^n
- Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)
=d(Φ(x + t(y - x)))/dt|_{t=0}・1
+ (1/2) d^2(Φ(x + t(y - x)))/dt^2|_{t=0}・1^2
+ (1/3!) d^3(Φ(x + t(y - x)))/dt^3|_{t=0}・1^3 + …
+ (1/(n-1)!) d^{n-1}(Φ(x + t(y - x)))/dt^{n-1}|_{t=0}・1^{n-1}
+ (1/n!) d^n(Φ(x + t(y - x))/dt^n|_{t=θ}・1^n
- Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)
=(1/n!) |(D^n Φ)(x + θ(y - x))(h, h, ... , h) - (D^n Φ)(x)(h, h, ... ,
h)|/|h|^n
(∵各項が打ち消し合う)
ですね。

>  = (1/n!) |Σ_{i_1, i_2, ... , i_n = 1}^d
>            ( (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x + θ(y - x))
>              - (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x) )
>            h_{i_1} h_{i_2} … h_{i_d}|/|h|^n
>  ≦ (1/n!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_n = 1}^d
>            | (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x + θ(y - x))
>              - (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x) |

ありがとうござます。参考になります。

>> これからどうすれば lim_{|h| = |y - x| →
>> 0}|∫_[0,1](D^nΦ)(y+t(x-y))dt-(D^nΦ)(y)|=0 が言えますでしょうか?
> 上から,
>  0 ≦ lim_{|h| = |y - x| → 0}
>       |Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h, h, ... , h)|/|h|^n
>    ≦ lim_{|y - x| → 0}
>       (1/n!) Σ_{i_1, i_2, ... , i_n = 1}^d
>               | (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x + θ(y - x))
>                 - (∂^nΦ)(∂x_{i_1}∂x_{i_2} … ∂x_{i_n})(x) |
>    = 0
> は明らかです.

なるほど。これで挟み撃ちの定理から
lim_{|h| = |y - x| → 0}|Φ(y) - Φ(x) - Σ_{k=1}^n (1/n!)(D^k Φ)(x)(h,
h, ... , h)|/|h|^n=0
が言えますね。