ご回答大変有難うございます。

>>> Φ(C) の開被覆 ∪_λ U_λ ⊃ Φ(C) に対して, ∪_λ Φ^{-1}(U_λ) は C の開被覆になります.
>> {U_λ}は非可算個の開被覆ですね。 Φ^-1(∪_λ U_λ) ⊃ Φ(C) (∵開被覆)で
>> ∪_λΦ^-1( U_λ) ⊃ Φ(C) (∵Φは全単射)ですね。
> Φ が連続写像であれば, ∪_λ Φ^{-1}(U_λ) は
> C の開被覆になります.

そうですね。連続と逆像の定義から言えますね。ここでは全単射は関係ありませんね。


>> 今,Φが連続&全単射だからΦは開写像と言え,開集合の逆像も開集合なのですね。
> Φ が, 開写像でなくても, 全単射でなくても, 連続写像であれば,
> 開集合の逆像は開集合であり, 上は成り立ちます.

そうでした。
「Φが連続⇔Φ^-1が開集合性を保存⇔Φ^-1が閉集合性を保存」でしたね。

>> 例えば,z=f(u(t),v(t))の時,zのtによる導関数は
>> dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt と書けるのですね。
> そう, それが, f が 2 変数の関数の時の合成関数の微分法です.

了解いたしました。

>> なので d(Φ(x+t(y-x))/dtではu(t)=x+t(y-x),f=Φ,z=f(u(t))と見立てると
>> dz/dt=∂z/∂udu/dtだから
> その見立てが間違っています. Φ は d 変数ですよ.
> x + t(y - x) は R^d のベクトルです.
>  x + t(y - x)
>  = (x_1 + t(y_1 - x_1), x_2 + t(y_2 - x_2), ... , x_d + t(y_d - x_d)
> なので, ψ_i(t) = x_i + t(y_i - x_i) と置くと,
>  x + t(y - x)
>  = (ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t))
> となります.

ありがとうございます。「u(t)=x+t(y-x)」が間違っていましたね
(v(t)に相当するものが無いで変に思ってはいましたが)。
納得です。

>>>  d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt = Σ_{i=1}^d
>>> (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t) が
>>>「多変数関数の」合成関数の微分法の公式です.
>> ありがとうございます。参考になります。 x_i(t)=ψ_i(t)ですね。
> x_i(t) なんて出て来ましたか?

すいません。上記の「dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt」と
「Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)」とを見比べ
て,
uはtの関数になっていたのでx_iはtの関数かと思ってしまいました。
ψ_i(t) = x_i + t(y_i - x_i)なのですね。
d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt
=Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂ψ_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)
なら
「dz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt」と合致しますが
このように書いてはダメなのでしょうか?

>> 上記のdz/dt=∂z/∂udu/dt+∂z/∂vdv/dt
>> と合致していて上手くいってます。
> でも使えなかったと.
> (dψ_i/dt)(t) = (d/dt)(x_i + t(y_i - x_i)) = y_i - x_i ですから,

そうですね。

>  d(Φ(x + t(y - x)))/dt
>  = d(Φ(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)))/dt

ψ_iはtを変数とするR∋∀t→ψ_i(t):=x_i + t(y_i - x_i))なるR→Rの関数ですね。

>  = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (dψ_i/dt)(t)
>  = Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (y_i - x_i)
>  = (DΦ)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (y - x)

ありがとうございます。

Σ_{i=1}^d (∂Φ/∂x_i)(ψ_1(t), ψ_2(t), ... , ψ_d(t)) (y_i-x_i)

=

(∂Φ(x+t(y-x)/∂x_1,(∂Φ(x+t(y-x)/∂x_2,…,(∂Φ(x+t(y-x))/∂x_d)
・
(y_1-x_1)
(y_2-x_2)
：
(y_d-x_d)

=

(∂Φ_1(x+t(y-x)/∂x_1,(∂Φ_1(x+t(y-x)/∂x_2,…,(∂Φ_1(x+t(y-x))/∂x_d)
(∂Φ_2(x+t(y-x)/∂x_1,(∂Φ_2(x+t(y-x)/∂x_2,…,(∂Φ_2(x+t(y-x))/∂x_d)
：
(∂Φ_d(x+t(y-x)/∂x_1,(∂Φ_d(x+t(y-x)/∂x_2,…,(∂Φ_d(x+t(y-x))/∂x_d)

・
(y_1-x_1)
(y_2-x_2)
：
(y_d-x_d)
(∵Φ=(Φ_1,Φ_2,…,Φ_d))

のようにd×d行列と1×d行列(ベクトル)に分解できるのですね。
Φ_iはx=(x_1,x_2,…,x_d)を変数とするR^d→Rの関数なのですね(∵x_1,x_2,…,x_dで偏微分されている事から)。
そして更に

=

((DΦ)(x-t(y-x)))
・
(y_1-x_1)
(y_2-x_2)
：
(y_d-x_d)

=(D(Φ)(x-t(y-x)))・(x-y)

と変形できるのですね。
DΦはtを変数とするの行列の形の導関数だったのですね。このDΦがJacobianと呼ばれる行列だったのですね。

>  = (DΦ)(x + t(y - x)) (y - x)

納得です。

> です. (DΦ)(x + t(y - x)) は d×d 行列と考えていて,

成分表示すると(DΦ)(x + t(y - x))=(∂Φ_i/∂x_j(x+t(y-x)))という形のd×d行列なのですね。

> (DΦ)(x + t(y - x)) (y - x) は行列とベクトルの積です.
>  (DΦ)(x + t(y - x)) (y - x) の k-成分
>  = Σ_{l=1}^d ((DΦ)(x + t(y - x)) の (k, l)-成分) ((y - x) の l-成分)
>  = Σ_{l=1}^d (∂Φ_k/∂x_l)(x + t(y - x)) (y_l - x_l)
> です.

納得です。

>>> Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d) は多変数関数ですよ. dΦ/dt には意味がありません.
>> d(Φ(x + t(y - x)))/dt との区別が分かりますか.
>> えっ!? 同じものではないのですか。 dΦ/dtは単にΦの変数を
>> 省略して書いただけかと思ってました。 どのように違うので
>> しょうか? もしかして,dΦ/dtはtでの全微分済み,一
>> 変数で言えば, Φ(t)=t^2+t+1の時,dΦ/dt=Φ'(t)、
>> d(Φ(t))/dt=Φ(t)'という意味でしょうか?
> だから, Φ を 1 変数 t の関数と見做す仕組みを明らかに
> しておかなければ, dΦ/dt には意味がないと申し上げています.

うーんと,つまり,元々はd変数だが1変数に見做すという事は

(∂Φ_1(x_1+t(y_1-x_1)/∂x_1,(∂Φ_1(x_2+t(y_2-x_2)/∂x_2,…,(∂Φ_1(x_d+t(y_d-
x_d))/∂x_d)

(∂Φ_2(x_1+t(y_1-x_1)∂x_1,(∂Φ_2(x_2+t(y_2-x_2)/∂x_2,…,(∂Φ_2(x_d+t(y_d-
x_d))/∂x_d)
：
(∂Φ_d(x_1+t(y_1-x_1)/∂x_1,(∂Φ_d(x_2+t(y_2-x_2)/∂x_2,…,(∂Φ_d(x_d+t(y_d-
x_d))/∂x_d)

・
(y_1-x_1)
(y_2-x_2)
：
(y_d-x_d)

での∂Φ_i(x_j+t(y_j-x_j)/∂x_jはtを変数とするx_1+t(y_1-x_1)の導関数と見做すのでしょうか?
そうするとΦ(x + t(y - x))を1変数と見做せるのでしょうか?

> もう, 意味のない表記は止めましょう.

すいません。

>> x = (x_1, x_2, ... , x_d)はxの各成分, Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d)はΦ=(Φ_1,Φ_2,
>>  …,Φ_d)と書いた時の Φ_1がx_1,Φ_2がx_2の相当する
>> R^d→Rの関数の意味だったのですね。
> 違います. Φ は R^d の開集合から R^d への写像です.
> Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d) は, 独立変数が R^d の元で
> あることを明らかにする書き方で,
> Φ = (Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d) は値が R^d の元であることを
> 明らかにする書き方です.

有難うございます。なるほど。(Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d)は単なる1×d行列とかではなかったのですね。
Φ = Φ(x_1, x_2, ... , x_d)は原像の元が何であるか,
Φ = (Φ_1, Φ_2, ... , Φ_d)は像の元が何であるか
を表していたのですね。なるほど視覚的に分かり易いですね。
憶えておきたいと思います。

> Ψ が R^m の開集合から R^n への写像であれば,
>  Ψ = Ψ(x_1, x_2, ... , x_m)
>     = (Ψ_1, Ψ_2, ... , Ψ_n)
>     = (Ψ_1(x_1, x_2, ... , x_m), Ψ_2(x_1, x_2, ... , x_m),
>        ... , Ψ_n(x_1, x_2, ... , x_m))
> 等と記述することになります. どの表記を使うかは, どの部分に
> 注目しているかに依ります.

これは有難うございます。これも大変参考になります。

>> 例えば,f(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)ならd=2で
>> x=(x_1,x_2)のx_1とx_2はx_1=x,x_2=yですね。 Φ(x_1, x_2,x_3)での
>> x_1,x_2,x_3はx_1が像がx^2+y^2なるR^2→Rの関数, x_2
>> は像がx-y^3なるR^2→Rの関数,像がx+yなるR^2→Rの関数なのですね。
> 全く意味不明です.

すいません。

>> えれば, 最大値が存在するというのはいまいち分からないのですが。。。
>> 単にEの閉包だけでも凹んだ部分があると無限大になったりするんですね。
>> 凸包&閉包でないといけないのですね。
> Lipschitz 性の証明の仕方によることです.
> 任意の x, y ∈ E について同じ M で
> |Φ(x) - Φ(y)| ≦ M |x - y| とならないといけないので,
> ノルム |Φ'(x + t(y - x))| を一様に評価する必要があります.

|Φ'(x + t(y - x))|は|Φ(x) - Φ(y)|/|x-y|の事ですよね。

> Φ は R^d の開集合で定義されている, というだけですから,
> E の形状が変だと Φ の定義域から外れることもあります.

E⊂OなのにEの形が変だと,|Φ'(x + t(y - x))|がΦの定義域Oから外れるとはどういう事なんでしょうか?
Φの値域から外れるのではなく,定義域から外れるのですね。

>> "f(a)の微分"はf(x)の導関数にx=aを代入したものですね。
>> つまり,それをx=aでの微分と言うのですね。
> 話が逆です. f の各点での微分が存在する時,
> 各点にその点での微分を対応させる関数を考えて,
> それを導関数と呼ぶのです.

これは大変参考になります。微分係数が先なのですね。

>>> では, その剰余項を用いて, Taylor の定理を証明して 御覧なさい. 出来ませんから.
>>  f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k),(h,k))
：
>> R_n=1/n!F^(n)(θ) (0<θ<1)を得る。 D:=h∂/∂x+k∂/∂yとすると
> こう定義したものは, 上の Df(a, b) の D とは違ってきます.

ご紹介頂いた式
「2変数のTaylor展開は
f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
+ …
       + 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n
(但し,(h,k), ... , (h,k))は2×(n-1)行列)」
に合致させる為には
D:=∂/∂x+∂/∂y
でなければなりませんでしたね。
そして剰余項R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k)) (但し,0<θ<1,
((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)なるのですね。

>> F'(t)=Df(a+ht,b+kt),F''(t)=D^2f(a+ht,b+kt),…で F^(i)(t)=D^if(a+ht,b+kt),
>> F^(i)(0)=D^if(a,b) (i=1,2,…,n)
> 合成関数の微分法を用いて,

w=f(u(t),v(t),z(t))の時,zのtによる導関数はdw/dt=∂w/∂u du/dt+∂w/∂v dv/dt+∂w/∂z dz/
dt
でしたね。

>  これらを示さないと,
> どの D での話かが明らかになりません.

D:=∂/∂x+∂/∂y+∂/∂zとすると
d(a+ht)/dt=h,d(b+kt)/dt=k,d(c+jt)/dt=jなので
F'(t)=dF(t)/dt=df(a+ht,b+kt,c+jt)/dt
=(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)d(a+ht)/dt+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)d(b+kt)/dt+
(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂z))d(c+jt)/dt
=(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)h+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)k+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/
∂z)j)
=(Df)(a+ht,b+kt,c+jt)・t^(h,k,j) (但し,t^は転置の意味)
=
(∂(a+ht)/∂x,∂(a+ht)/∂y,∂(a+ht)/∂z)
(∂(b+kt)/∂x,∂(b+kt)/∂y,∂(b+kt)/∂z)
(∂(c+jt)/∂x,∂(c+jt)/∂y,∂(c+jt)/∂z)
・
t^(h,k,j)

なのでこの
(∂(a+ht)/∂x,∂(a+ht)/∂y,∂(a+ht)/∂z)
(∂(b+kt)/∂x,∂(b+kt)/∂y,∂(b+kt)/∂z)
(∂(c+jt)/∂x,∂(c+jt)/∂y,∂(c+jt)/∂z)
という行列が(Df)(a+ht,b+kt,c+jt)の事なのですね。

F''(t)=d^2F(t)/dt^2=d^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/dt^2
=d/dt・df(a+ht,b+kt,c+jt)/dt
=d/dt(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x)h+(∂f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y)k+(∂f(a+ht,b+kt,c
+jt)/∂z)j
(∵F'(t)での内容)
=∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x^2)h^2+(∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y^2)k^2+(∂^2f(a
+ht,b+kt,c+jt)/∂z^2)j^2
(∵dw/dt=∂w/∂u du/dt+∂w/∂v dv/dt+∂w/∂z dz/dtより)
=
(∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂x^2,∂^2f(a+ht,b+kt,c+jt)/∂y^2,∂^2f(a+ht,b+kt,c
+jt)/∂z^2)
・
t^(h^2,k^2,j^2)
=
(∂^2(a+ht)/∂x^2,∂^2(a+ht)/∂y^2,∂^2(a+ht)/∂z^2)
(∂^2(b+kt)/∂x^2,∂^2(b+kt)/∂y^2,∂^2(b+kt)/∂z^2)
(∂^2(c+jt)/∂x^2,∂^2(c+jt)/∂y^2,∂^2(c+jt)/∂z^2)
・
t^(h^2,k^2,j^2)

となってしまい,この3×3行列が(D^2f)(a+ht,b+kt,c+jt)になるのかと思いますが
D^2=(∂/∂x+∂/∂y+∂/∂z)^2=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2+2∂^2/(∂x∂y)+2∂^2/
(∂y∂z)+2∂^2/(∂x∂z)
にもなってませんし,
t^(h^2,k^2,j^2)が3×2行列((h,k,j),(h,k,j))にもなりません。何処が間違っているのでしょうか?

>> よってF(1)の式にF(1)=f(a+h,b+k)、F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk)を代入すると,
>> f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k), (h,k))
>> + …+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)
>>  (但し,0<θ<1)を得る。 でしょうか?
> D の解釈が一つの式の中で一定していないので,
> どちらであると考えても上の Taylor の公式は間違っています.

「F(1)=f(a+h,b+k)、F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))を代入すると,
f(a+h, b+k) = f(a, b) + Df(a, b)(h, k) + 1/2!(D^2f)(a,b)((h,k),(h,k))
+
…+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k), ... , (h,k)) + R_n R_nはR_n=1/n!D^nf(a
+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
(但し,((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)」
と書くべきだったのですね。

D:=h∂/∂x+k∂/∂yとするかD:=∂/∂x+∂/∂yとするかに統一しないといけないのですね。
前者なら
f(a+h, b+k)=f(a, b)+Df(a, b)+1/2!(D^2f)(a,b)+ …+
1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)+R_n,
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)
後者なら
f(a+h, b+k)=f(a, b)+Df(a, b)(h,k)+1/2!(D^2f)(a,b)((h,k),(h,k))+ …+
1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b)((h,k),(h,k),…,(h,k))+R_n,
R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
(但し,((h,k),(h,k),…,(h,k))は2×n行列)
ですね。

>>  (但し,0<θ<1)を得る
>>  f(a+h, b+k,c+j)=f(a,b,c)+Df(a,b,c)(h,k,j)+1/2!(D^2f)(a,b,c)((h,k,j),
>> (h,k,j))+ …+1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)((h,k,j), ... ,(h,k,j))+R_n R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj)
>>  (但し,0<θ<1) に於いて, (証) a,b,c,h,k,jを定数とみて,次のtの関数を考える。
>>  F(t)=f(a+ht,b+kt,c+jt). これは1変数のtの関数だから,Maclaurinの展開式をx=1の場合で適用して,
>> F(1)=F(0)+F'(0)+1/2!F''(0)+…+1/(n-1)!F^(n-1)(0)+R_n,R_n=1/n!F^(n)(θ)
>> (0<θ<1)を得る。 D:=h∂/∂x+k∂/∂y+j∂/∂zとすると
> やはり, Df(a, b, c) の D とは違います.

「R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj)」
↓
「R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj) ((h,k,j),(h,k,j),…,(h,k,j))」

「R_n=1/n!F^(n)(θ)」
↓
「R_n=1/n!F^(n)(θ) ((h,k,j),(h,k,j),…,(h,k,j))」

「D:=h∂/∂x+k∂/∂y+j∂/∂zとすると」
↓
「D:=∂/∂x+∂/∂y+∂/∂zとすると」

と訂正すればいいのでしょうか?

>> F'(t)=Df(a+ht,b+kt,c+jt),F''(t)=D^2f(a+ht,b+kt,c+jt),…で
>> F^(i)(t)=D^if(a+ht,b+kt,c+jt), F^(i)(0)=D^if(a,b,c) (i=1,2,…,n)
> 先ず, 合成関数の微分法から, これを証明して御覧なさい.

上述の通り,
D^2=(∂/∂x+∂/∂y+∂/∂z)^2=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2+2∂^2/(∂x∂y)+2∂^2/
(∂y∂z)+2∂^2/(∂x∂z)
となりませんで延着しております。

>> よってF(1)の式にF(1)=f(a+h,b+k,c+j)、 F^(n)(θ)=D^nf(a+θh,b+θk,c+θj)
>> を代入すると,f(a+h,b+k,c+j) = f(a,b,c) + Df(a,b,c)(h,k,j) +
>> 1/2!(D^2f)(a,b,c)((h,k,j), (h,k,j))+ …+ 1/(n-1)!(D^{n-1}f)(a,b,c)
>> ((h,k,j), ... , (h,k,j))+ R_n R_nはR_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk,c+θj)
>> (但し,0<θ<1)を得る。 でしょうか? すいませんよく分かりませんでした。
> 合成関数の微分法が使えなければ, 証明できないのは
> 当たり前です.

そうでしたか。

>>> 元の λ(h) を λ(a) と読み間違ったのではないですか.
>> さようです。
> h が入らないのがおかしいと思わないのは,
> 微分が一次近似であることの理解が出来ていないのです.

すいません。

>>> で, h が消えてしまった. Taylor の定理でも h に対応
>> するところが全て消えている.
>> どこらへんでしょうか。
> 既に示したように,

「多変数のTaylor展開とは
Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!
D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+o(ε)
 (但し,D:=∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)ですね。」

↓

「多変数のTaylor展開とは
Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)
(h_1,h_2,…,h_d)+1/2!
 D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,…,h_d))+…
+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,…,h_d),…,
(h_1,h_2,…,h_d))+o(ε)
 (但し,D:=∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)ですね。 」

とするべきだったのですね。

>>  (但し,D:=∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)ですね。|x - z_k|<εから
>> (x_1,x_2,…,x_d):=x, (h_1,h_2,…,h_d):=z_kと見立てると
>> Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+1/2!D^2Φ(x)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)+o(ε) となるのですね。
> も h = (h_1, h_2, ... , h_d) に相当するものや,
> x - z_k に相当するものが消えていますし,

「Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+1/2!D^2Φ(x)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)+o(ε) となるのですね。」
↓
「Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)(z_k)+1/2!D^2Φ(x)(z_k,z_k)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)
(z_k,z_k,…,z_k)+o(ε)
(但し,(z_k,z_k,…,z_k)はd×(n-1)行列) となるのですね。」

とすべきだったのですね。

>> 一階微分したTaylor展開はΦ(z_k-x)=Φ(z_k)+DΦ(z_k)+o(ε)(但し,D:=∂/∂x_1
>> +∂/∂x_2+…+∂/∂x_dでo(ε)=1/1!DΦ(z_k-εx)(0<ε<1)) ですよね。
> x - z_k に相当するものが消えていますし,

o(ε)=1/1!DΦ(z_k-εx)(z_k)　(0<ε<1))
(但し,z_kはd×1行列)
 とすべきでしたね。

>> f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
>> (但し,D:=∂/∂x+∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (0<θ<1)) や
> (h, k) に相当するものが消えています.

ここも
「f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)(h,k)+1/2!D^2f(a,b)((h,k),(h,k))+…+1/(n-1)!D^
{n-1}f(a,b)((h,k),(h,k),…,(h,k))+R_n
(但し,D:=∂/∂x+∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk)((h,k),(h,k),…,(h,k))
(0<θ<1)) 」
でしたね。

>> f(x,y)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
>> (但し,D:=(x-a)∂/∂x+(y-b)∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θ(x-a),b+θ(y-b))
>>  (0<θ<1)) ですよね。
> ここだけ D の中に (x - a), (y - b) が入っているから,
> 間違いではないが, その意味が理解されているかどうかは
> 分からない. この D の記法には問題があります.

そうでした。統一して書くなら
「f(x,y)=f(a,b)+Df(a,b)(x-a,y-b)+1/2!D^2f(a,b)((x-a,y-b),(x-a,y-b))+…
+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)((x-a,y-b),(x-a,y-b),…,(x-a,y-b))+R_n
(但し,D:=(x-a)∂/∂x+(y-b)∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θ(x-a),b+θ(y-b))((x-a,y-b),
(x-a,y-b),…,(x-a,y-b))」
とするべきでしたね。

>> で今,変数はd個あるので,
>> Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!
 >> D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+R_n
>>  (但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,
>> R_n:=1/n!D^nf(x_1+θh_1,x_2+θh_2,…,x_d+θh_d) (0<θ<1)) や
> h = (h_1, h_2, ... , h_d) に相当するものが消えています.

「Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)
(h_1,h_2,…,h_d)+1/2!
D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((h_1,h_2,…,h_d),
(h_1,h_2,…,h_d),…,(h_1,h_2,…,h_d))+R_n
(但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,
R_n:=1/n!D^nf(x_1+θh_1,x_2+θh_2,…,x_d+θh_d)((h_1,h_2,…,h_d),(h_1,h_2,
…,h_d),…,(h_1,h_2,…,h_d)) (0<θ<1)) 」
でしたね。

>> Φ(t_1,t_2,…,t_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+
>> 1/2!D^2Φ(x_1,x_2, …,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+R_n
>>  (但し,D:=(x_1-h_1)∂/∂x_1+(x_2-h_2)∂/∂x_2+…+(x_d-h_d)∂/∂x_d,
>> R_n:=1/n!D^nf(x_1+θ(x_1-h_1),x_2+θ(x_2-h_2),…,x_d+θ(x_d-h_d))
>> (0<θ<1)) ですよね。
> ここだけ, D の定義の中に (x_i - h_i) が入っているようですが,
> 正しくは t_i - x_i ですから, やはり間違っています. 又, D の
> 記法には問題があります.

「Φ(t_1,t_2,…,t_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)(t_1-x_1,t_2-x_2,
…,t_d-x_d)
+
1/2!D^2Φ(x_1,x_2, …,x_d)((t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-x_1,t_2-x_2,
…,t_d-x_d))+…
+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)((t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-
x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),…,(t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d))+R_n
(但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,
R_n:=1/n!D^nf(x_1+θ(x_1-h_1),x_2+θ(x_2-h_2),…,x_d+θ(x_d-h_d)((t_1-
x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),(t_1-x_1,t_2-x_2,…,t_d-x_d),…,(t_1-x_1,t_2-x_2,
…,t_d-x_d)))  (0<θ<1)) ですよね。」

とすべきでした。

>> すいません。Euclid空間ではcompact集合⇒
>> 閉集合なのですね。参考になります。
> Hausdorff 位相空間では compact 集合は閉集合です.

ありがとうございます。参考になります。

> 一様連続性の必要性について,
>> xはE内の一点,z_1,z_2,…は各立方体Q_kの中心ですよね。
> m(E＼∪_{k=1}^∞ Q_k) = 0 なので x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k
> となる x について考えています.

E=∪_{k=1}^∞ Q_kとなっているわけではありませんでしたね。

>> どんなに小さなεをとっても任意のkに対して,
>> |x-z_k|<εなるxが存在するという意味でしょうか?
> ε ごとに, { Q_k }_{k=1}^∞ は取り替えるのですが,

やはりそうですね。

> x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k, diam(Q_k) < ε, ですから,
> x ∈ Q_{k_0} のとき, |x - z_{k_0}| < ε です.
> なお, Q_k は disjoint ですから, k_0 は唯一つに決まります.

なるほど。k_0はεとxによって決まるのですね。

>> xはどの中心にも<εなだけ近いという意味が
>> よく分かりませんが Q_kは直径はばらばらなのですよね。
> diam(Q_k) < ε となるものを考えています.

そうですね。

>> どんなに小さなεでも全直径に近いxは有りようがないと思うのですが。。
> 意味不明です.

すいません。上記のk_0というのを誤解してました。
εを決めると,|x - z_{k_0}| < ε なるQ_{k_0}が少なくと一つは採れるのですね。
ただ一個だけかどうかはxの位置によりますね。
xの場所によっては,|x - z_{k_0}| < ε且つ|x - z_{k_1}| < ε なるQ_{k_0},Q_{k_1}が採れる場合も
ありますね。

>> えーと,ここはΣ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)|が |det(Φ'(x))|に一様収束
>> しているという事でしょうか? どうして一様収束していると分かるのでしょうか?
> それを, diam(Q_k) < ε となるなら x ∈ ∪_{k=1}^∞ Q_k について
> |Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))|χ_{Q_k}(x)| - |det(Φ'(x))|| < δ
> である, と示したのです.

すいません。ここでの議論の趣旨は何だったのか混乱しております。

つまり,Eの閉包cl(E)で一様連続という事は
今,Eは有界なのでx∈cl(E)に対し,
0<∀ε∈Rに対し,∃{Q_k};
0<∃δ∈R,∃k_0∈N such that
∀x∈{x∈Q_{k_0};|x-z_{k_0}|<δ},  |Σ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)-|
det(Φ'(x))||<ε.

という事ですよね。 ここでのEは有界なのですよね。そしてΣ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)はE上で連続で
閉包cl(E)上でも連続だからΣ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)は有界。
ここでどうして一様連続の話が出てくるのしょうか。
Σ_{k=1}^∞|detΦ'(z_k))|χ_{Q_{k_0}(x)が一様連続でなければどうなるのでしょうか?