ご回答大変有難うございます。

>> すいません。C^1級と全単射という条件だけからどうやって
：
> Φ(E) も F_σ 集合になり, 可測です.

そうでした。Φは微分可能なら連続で全単射だからOとO'は位相同型になりますね。
よって,あらゆる位相的性質は保存されるからEがLebesgue可測ならΦ(E)もLebesgue可測となるのですね。

> (b) は |Φ(x) - Φ(x')| ≦ M |x - x'| となる
> M が取れれば, 即ち, Φ が Lipschitz であれば,
> 同じ議論が出来ることになります. C^1 級の Φ は
> 全体では Lipschitz になるとは言えませんが,
> 有界閉領域の上に制限すれば, Lipschitz である
> ことが示せます.

つまり,「Φが有界閉領域AでLipschitz条件を満たす⇔AとΦ(A)は位相同型」が成り立つのですね。

> m(E) = 0 のとき, E = ∪_{n=1}^∞ E_n と,
> 有界な E_n に分けて, m(E_n) = 0 と
> E_n を含む有界閉領域上で
> |Φ(x) - Φ(x')| ≦ M |x - x'| が成立することから,

∀x,y∈E_nでE_nは有界閉領域だからmax{|Φ(x) - Φ(y)|;x,y∈E_n}が存在するから
どのようなMが採れますでしょうか?

> m(Φ(E_n)) = 0 が言えて, m(Φ(E)) = 0 となります.

今,OとO'は位相同型である事からEが零集合の時にはΦ(E)も零集合とは言えないんでしょうか?
やはり,Lipschitz条件が必要なのでしょうか?
零集合は位相的性質ではない!?

ところでここはどうしてEが零集合である事を議論なさっているのでしょうか?
(b)ではEが有界閉領域の場合と非有界の場合とだけ議論すれば十分だと思うのですが…。


> 結局, Φ が C^1 であることから, locally Lipschitz
> であること, を示すことが残ります.

locally Lipschitzである事は各有界閉領域E_nが∀x,y∈E_nでmax{|Φ(x) -
Φ(y)|;x,y∈E_n}が存在する。
それからどのようなMが採ればいいのでしょうか?

>> つまり,lim_{x→∞}|ε/x^α|≦∃K∈Rの時,o(ε)=αなのですね。
> 違います. ある量 g が o(ε) であるとは,
>  lim_{ε→0} |g/ε| = 0

ありがとうございます。

> となることです. 今, |x - z_k| < ε のとき
>  Φ(x) = Φ(z_k) + Φ'(z_k)(x - z_k) + o(ε)
> とは,
>  Φ(x) - Φ(z_k) - Φ'(z_k)(x - z_k) = o(ε)
> ということですから,
>  lim_{ε→0} |Φ(x) - Φ(z_k) - Φ'(z_k)(x - z_k)|/|ε| = 0
> であるとの主張です.

ありがとうございます。o(ε)の意味が分かりました。

> これは Taylor の定理から明らかです.

今,0<∃ε∈R;lim_{ε→0} |Φ(x)-Φ(z_k)-Φ'(z_k)(x-z_k)|/|ε|=0という事ですね。

一階微分したTaylor展開はΦ(z_k-x)=Φ(z_k)+DΦ(z_k)+o(ε)
(但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_dでo(ε)=1/1!DΦ(z_k-εx)(0<ε<1))
ですよね。これからどうして
lim_{ε→0} |Φ(x)-Φ(z_k)-Φ'(z_k)(x-z_k)|/|ε|=0が言えるのでしょうか?

>> 多変数のTaylor展開とは
>> Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!
：
> o(ε) と 1 次近似にしかなっていないのは変だと
> 思いませんか.

はい。

>> |x - z_k|<εから (x_1,x_2,…,x_d):=x, (h_1,h_2,…,h_d):=z_kと見立てると
>> Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+1/2!D^2Φ(x)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)+o(ε) となるのですね。
> 間違ってます.

どのように解釈すればΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)が出てくるのでしょうか?

>> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)は一階微分したTaylor展開だと思いますが
>> その場合, Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+o(ε)でΦ(x-z_k)
>> =Φ(x)+(∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)Φ(x)+o(ε) となりますね。
> 間違ってます.
>> それからΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)に辿り着くには どのように変形すればいいのでしょうか?
> 先ず, Taylor の公式の復習をしてきて下さい.

f(a+h,b+k)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
(但し,D:=∂/∂x+∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θh,b+θk) (0<θ<1))
や
f(x,y)=f(a,b)+Df(a,b)+1/2!D^2f(a,b)+…+1/(n-1)!D^{n-1}f(a,b)+R_n
(但し,D:=(x-a)∂/∂x+(y-b)∂/∂y,R_n=1/n!D^nf(a+θ(x-a),b+θ(y-b)) (0<θ<1))ですよ
ね。
で今,変数はd個あるので,
Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!
D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+R_n
(但し,D:=∂/∂x_1+∂/∂x_2+…+∂/∂x_d,R_n:=1/n!D^nf(x_1+θh_1,x_2+θh_2,…,x_d
+θh_d) (0<θ<1))
や
Φ(t_1,t_2,…,t_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2!D^2Φ(x_1,x_2,
…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+R_n
 (但し,D:=(x_1-h_1)∂/∂x_1+(x_2-h_2)∂/∂x_2+…+(x_d-h_d)∂/∂x_d,R_n:=1/n!D^nf
(x_1+θ(x_1-h_1),x_2+θ(x_2-h_2),…,x_d+θ(x_d-h_d)) (0<θ<1))ですよね。


> 変形も何もありません.

何処が間違ってますでしょうか?

>> つまり,Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)は"∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対して,
>> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)"という事を意味しているのですね。
> 少し不正確ですね. diam Q_k < ε なので,
> 「 ∀ x ∈ Q_k ⊂ { x ∈ R^d | |x - z_k| < ε } 」
> とするべきです.

なるほど。εはQ_kの直径だったのですね。

>> ∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対して
> これは修正して,

はい。

>> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)なら Q_kは有界なので適当なεで
> diam Q_k < ε なる ε を既に取っています.
>> Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)と書けるのですね。
> まあそれは良いですが,
>> これから(Q_k)-Φ(z_k)=Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε) -η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂o(ε)⊂
>> η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)なる εの関数η(ε)が存在するのですね。
> 何故そうなるのでしょうか.

すいません。
「これからΦ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε) -η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂o(ε)⊂η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-
z_k)なる εの関数η(ε)が存在するのですね」
と書きたかったのでした。

>> これは∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対 -η(ε)Φ'(z_k)(x-z_k)≦o(ε)≦η(ε)Φ'(z_k)(x-z_k)の 象徴なのですね。
> 意味のない式の象徴といわれても困ります.

すいません。

> > ところで関数ηの定義域は(0,∞)でしょうが値域は何になるのでしょうか?
> 誤解に基づいた質問には意味がありません.
> まあ, しかし, text は間違っています.

えー。そうだったのですか。。

>>  (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)
> となるという主張は成立しません.
：
> 両端は { 0 } です.

ありがとうございます。

> どう修正すれば良いかは, まあ, 難しいかも知れません.
> C^1 bijection というのを, 逆関数も C^1 になる
> 写像のことだとすると, 少し楽です. それでも,

Φ^-1もC^1級で連続なのですね。

>  (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)
> というのはちょっと虫が良すぎます.
：
> η(ε)Φ'(z_k)(Q_k - z_k) というのはベクトルの集まりを
> 表しているので, その極限というのは良くない書き方ですが,
> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1) が言えるのでしょうか?
> m(Φ(Q_k)) = |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + ε_k となっていて,

Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)からどうやってm(Φ(Q_k)) = |det(Φ'(z_k))| m
(Q_k) + ε_kが得られるのでしょうか?

> Σ_{k=1}^∞ ε_k → 0  (ε→0) となることを言えば良いわけです.

つまり,Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞ (|det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + ε_k) (但
し,ε_k:=ε/2^k)とすれば
Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞ (|det(Φ'(z_k))| m(Q_k)) + Σ_{k=1}^∞ ε_k
となり,
Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + εとなり,
lim_{ε→0}(Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k))-Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k))/1=lim_
{ε→0}ε/1=0だから
Σ_{k=1}^∞ m(Φ(Q_k)) = Σ_{k=1}^∞ |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) + o(1) となる
(∵Landauの記号の定義)。
でいいでしょうか?

>> -η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂o(ε)⊂η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)から
> それは言えませんし,
>>(1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂(Φ(Q_k)-Φ(z_k))⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)はどうして言えるのでしょうか?
> 実はそれも言えないのです.

するとどうやって。。

>>(1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂(Φ(Q_k)-Φ(z_k))⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)が言えれば
>> 言えれば,
>> m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) ≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k))≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) は単調性ですね。
> そうです.

了解いたしました。

>> m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) ≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k))≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) から
>> (1-η(ε))^d|det(Φ'(z_k))|m(Q_k)≦m(Φ(Q_k)) ≦(1+η(ε))^d|det(Φ'(z_k))|m(Q_k)
>> はどうして言えるのでしょうか? どうしてΦ'(z_k)は線形になるのでしょうか?
> (多変数関数の)微分は線形写像ですよ.

そうでした。{h→0}|f(x+h)-f(x)-g(x)|/h=0なる線形写像g:R^m→R^nが存在する時,fは微分可能であるといいgを微分
というのでしたね。

> 既に det(Φ'(z_k)) という記述があるではありませんか.

m(Φ(Q_k))=|det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+ε_kの事でしょうか?
これからどうやって。。

> Φ'(z_k) が d×d 行列と見做せるから意味があるのです.

なるほど。ΦはR^dからR^dの写像でしたから,その微分Φ'はR^dからR^dの線形写像で,Φ'の表現行列[Φ']はd×d行列という事です
ね。 Φ'(z_k)は[Φ'](z_k)の事でしょうからd×1行列ですよね?

> d 次元空間で, k 倍の相似変換を行えば,
> d 次元体積は k^d 倍になるのも当たり前ですね.

これは分かります。

>> どうして|detΦ'(x)| は連続関数と分かるのでしょうか?
> d×d の行列 Φ'(x) の各成分は Φ(x) の1階偏微分で,
> Φ は C^1 ですから, それらは連続です. 従って,
> det Φ'(x) も連続です.

あっそういうことだったのですね。分かりました。

> Reimann積分するのに連続という条件が必要なんでしょうか?
> 連続であれば, Rimemann 積分が存在しますね.

これは積分値が∞の場合も考慮されいるのでしょうか?

>> Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)を積分すると
> それを積分するのではありません.
> 第一項は Riemann 和の形ですから,

えーと,Riemann和という事はQ_1,Q_2,…がEの分割になっていて,ξ_i∈Q_iに対して,
Σ_{i=1}^∞(Q_iの面積)・ξ_iでこれがΣ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)=Σ_{i=1}^∞(Q_iの面積)・
ξ_i
となっているという事でしょうか?
ん? Riemann和は有限個の和でしたよね?

> ε→0 での極限を考えれば, o(1)→0 で,

これはlim_{ε→0}o(1)/1=0(∵o(1)の定義)だからo(1)→0でなければなりませんね。

> Σ_k |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) → ∫_E |det(Φ'(x))| dx
> となります.

すいません。何故このように言えるのでしょうか?

>> えーと,E_1,E_2,…をE=∪_{i=1}^∞E_iなる互いに素な有界開集合とすると
：
> そうなることは良いですが, 余り役立っていませんね.

そうでしたか。失礼いたしました。

>> E=∪_{i=1}^∞E_iの箇所はどうやって証明すればいいのでしょうか?
> 何を証明したいのですか

非有界閉集合Eが互いに素な有界閉集合の和として表される事です。

.>> E を有界な可測集合としましょう. E ⊂ F で m(F＼E) = 0 であれば

EはLebesgue可測集合なのでそのようなFが採れるのですね。

> (a) の証明の途中で, Φ が C^1 より, m(Φ(F＼E)) = 0 が
> 示されますから,

あっなるほど。それで上記で零集合の議論をなさったのですね。

>m(Φ(F)) = m(Φ(E)∪Φ(F＼E))

m(Φ(F))=m(Φ(E∪F＼E))=m(Φ(E)∪Φ(F＼E))と変形できるのは何故なのでしょうか?

> = m(Φ(E)) + m(Φ(F＼E)) = m(Φ(E)) です.

これは可算加法性から言えますね。

> F として, 有界開集合 F_n の共通部分 F = ∩_{n=1}^∞ F_n を> 取れば,

閉集合の可算共通部分も閉集合でしたね。

> m(Φ(F)) = lim_{n→∞} m(Φ(F_n))

Eが有界だからm(E)<∞でm(Φ(E))<∞…①(∵位相同型)
よって∩_{n=1}^m Φ(F_n)は減少集合列…②で
m(Φ(F))=m(Φ(∩_{n=1}^∞F_n))=m(Φ(lim_{m→∞}∩_{n=1}^m F_n))=m(lim_{m→∞}∩_
{n=1}^m Φ(F_n))
=lim_{n→∞} m(Φ(F_n))(∵①,②より某命題)となるのですね。

> = lim_{n→∞} ∫_{F_n} |det Φ'(x)| dx

m(Φ(F_n))から∫_{F_n} |det Φ'(x)| dxとなるのは何故でしょうか?

> = ∫_F |det Φ'(x)| dx

lim_{n→∞} ∫_{F_n} |det Φ'(x)| dx=∫_{lim_{n→∞}F_n} |det Φ'(x)| dxはどうして言え
ますでしょうか?

> = ∫_E |det Φ'(x)| dx となりますから,

F＼Eは零集合だからLebesgue積分の定義からF＼Eは無視できるのですね。

> m(Φ(E)) = m(Φ(F)) = ∫_E |det Φ'(x)| dx です.

なるほど。

> 有界でない場合も自明ですね.

非有界閉集合Eを互いに素な有界閉集合の和∪_{i=1}^∞E_iとして表される事を示して各E_iに対して,,
m(Φ(E_i)) =∫_E_i |det Φ'(x)| dxで両辺を足すのでしょうか?
Σ_{i=1}^∞m(Φ(E_i)) =Σ_{i=1}^∞∫_E_i |det Φ'(x)| dxでこれから
(左辺)=m(∪_{i=1}^∞Φ(E_i))=m(Φ(∪_{i=1}^∞E_i))=m(Φ(E))と変形できるのですよね。
(右辺) =∫_{∪_{i=1}^∞_E_i} |det Φ'(x)| dx (∵Lebesgue積分の性質)

>> 単関数fのcanonical formをf=Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i} (但し,R∋a_iは相異なる.O'_iは
>> 互いに素,∪_{i=1}^m O'_i=O)とすると∫_O' f(y)dy=∫_O'Σ_{i=1}^ma_iχ_{O'_i}dy
>> =Σ_{i=1}^m a_im(O'_i)となり ここからどうすれば∫_Of(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが
>> 得られるのでしょうか?
> Φ は bijection ですから O'_i = Φ(O_i) となっています.

位相同型の定義からそのようなO_iが採れるのですね。

>  Σ_{i=1}^m a_i m(O'_i)
>  = Σ_{i=1}^m a_i m(Φ(O_i))
>  = Σ_{i=1}^m a_i ∫_{O_i} |det Φ'(x)| dx

これは上記の「m(Φ(E))=∫_E |det Φ'(x)| dx 」から言えるのですね。

>  = ∫_O (Σ_{i=1}^m a_i χ_{O_i}(x)) |det Φ'(x)| dx

これはLebesgue積分の定義からですね。

>  = ∫_O f(Φ(x)) |det Φ'(x)| dx
> となりますね.

有難うございます。これで可積なO'に対して∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが言えたのですね。
次に0≦fが単関数ではない場合はf_n↑fなるdetermining sequence{f_n}が採れ,
∫_O' f(y)dy=lim_{n→∞}∫_O' f_n(y)dy(∵Monotone Convergence theorem)
=lim_{n→∞}∫_O f_n(Φ(x))|detΦ'(x)|dx(∵f_nは単関数より,証明済みの上記を使う)
ここからどうすれば
=∫_O lim_{n→∞}f_n(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが言えますでしょうか?
f_n(Φ(x))|detΦ'(x)|が単調増加関数列である事を言わねばMCTは使えませんよね。