工繊大の塚本です.

In article <eebde5b4-9549-44a6-a860-0fe077a92dd4@r33g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> あっ。そうでした。S''(O) = OだからS''(a_1X_1-a_1O)から
> a_1S''(X_1)-a_1S''(O)が言えますね。

どうしてでしょう. 今, S'' が線形写像であることを
証明しようとしているので, 線形性は使えません.

> よって,d=1の時,Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が成り立つ。
> 続いて,d≧1の時,Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が
> 成り立つと仮定すると
> d+1の時はΣ_{i=1}^{d+1} b_i OS''(X_i)
> =Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)+b_{d+1} OS''(X_{d+1})
> =S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i)+b_{d+1} OS''(X_{d+1}) (∵帰納法の仮定)
! =S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i))+b_{d+1} OS''(X_{d+1}) (∵帰納法の仮定)
> =S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i)+S''(b_{d+1} OX_{d+1})
! =S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i))+S''(b_{d+1} OX_{d+1})

これは, 長さの関係からと言うのであれば,
示せることですが,

> (∵S''(b_{d+1} OX_{d+1})=S''(b_{d+1} X_{d+1}-b_{d+1}O)
>    =S''(b_{d+1}X_{d+1})-S''(b_{d+1}O)

これは, 今証明しようとしている, 線形性を使っていませんか.

>    =S''(b_{d+1}X_{d+1})-S''(O)=S''(b_{d+1}X_{d+1})-O
>    =b_{d+1}S''(X_{d+1})-O
> (∵OH_i = a_i OX_i とすれば,|OH_i| = |OS''(H_i)|, etc., となることから,
> OS''(H_i) = a_i OS''(X_i)) =b_{d+1}OS''(X))

最後の部分は, それまでの理由付けにはなっていません.

> よって,全てのdについてΣ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が
> 成り立つのですね。

証明になっていません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp