工繊大の塚本です.

In article <7fec6bf8-df7c-4eb2-afb8-ca762264dc72@v4g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうでした。十分性も示さねばなりませんでしたね。
> ∀z∈{z∈R^2;|x-z|+|z-y|=|x-y|}を採ると
> 今,|x-z|+|z-y|=|x-y|で
> |x-z|,|z-y|,|x-y|は夫々,線分,xz,zy,xyの長さを表している。
> 従って,zは線分xy上にならねばならない。

そこが証明すべきことです.

> (i) x≠yならt:=|z-x|/|y-x|と採れる。
> (ii) x=yの時は明らか。
> で宜しいでしょうか?

それが証明できれば, 後は大した問題ではありません.

> In article <090511173407.M0223782@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  S'' は, O を O に移す, ratio が 1 の similarity である
> > ということだけが分かります.
> 
> 今,S''=D_{1/r}○S'=D_{1/r}○T_{-V}○Sですよね。
> S''がOをOに写す事は
> S''(O)=(D_{1/r}○T_{-V}○S)(O)=D_{1/r}○T_{-V}(S(O))
> =D_{1/r}○(V-S(O))
> =D_{1/r}((V-S(O)))でここからどうしてOに写る事が示せますでしょうか?

 V = S(O) - O が V の定義でした.
 T_{-V}(S(O)) = S(O) + (-1)(S(O) - O) = O は
既に S'(O) = O で示しました.

> なるほど。S''(Σ a_i OX_i)=Σ a_i OS''(X_i)示せばいいのですね。
> 今,R^2だからS''(a_1OX_1+a_2OX_2)=a_1OS''(X_1)+a_2OS''(X_2)を示せばよい。
> S''はratio1のsimilarityだからS''(a_1OX_1+a_2OX_2)は始点がOで
> (∵上記よりS''はOをOへ写す),
> 終点はa_1S''(X_1)+a_2S''(X_2)へ写す(∵S''はratio1でT_{-V}での平行移動のみ)

 S'' が線形写像になることを示そうとしているので,
線形写像だから成立する性質(終点は a_1S''(X_1) + a_2S''(X_2))
を使っては意味がありません.

> よって S''(a_1OX_1+a_2OX_2)=a_1OS''(X_1)+a_2OS''(X_2
> という感じでいいのでしょうか?

だから, 駄目です.

> そうでした。直交行列はSLと表せ,行列式の絶対値が1になる行列でしたね。

 SL (special linear) ではありません.
 O (othogonal) です.

> n次元での回転はn次直交行列で変換の事と定義されていると習いましたが。。。
> 回転の定義はそのようなものではないのでしょうか?

言葉の定義はどのように決めても構いませんが,
内実を知っていないと意味がありません.

> 3次の直交行列は
> 
> 1,0,0
> 0,cosθ,-sinθ
> 0,sinθ,cosθ
> と
> -1,0,0
> 0,cosθ,-sinθ
> 0,sinθ,cosθ
> 
> ですね。前者が回転,後者がimproperな回転ですね。

それは直交変換を行列で表す時の正規直交基底を
その直交変換に合わせて上手く取れば, です.

> n次元ではどのようになるのでしょうか?

正規直交基底を上手く取れば,
 det P = 1 のものについては,
 n = 2m 又は 2m + 1 として,
回転の行列を R(θ) = [[cos θ, - sin θ],
                      [sin θ,   cos θ]]
として, R(θ_1), R(θ_2), ... , R(θ_m) を
対角に並べ( n = 2m + 1 のときは 1 を付け加え)た行列
になります.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp