工繊大の塚本です.

In article <0fc6af1a-8953-4530-a3b4-895f073bebec@s20g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> なるほど。z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|が線分の定義なのですね。

 Euclid 空間における普通の線分の定義について
それが成立していることを示すのは, 問題を解く
貴方の責任です.

> In article <090427173623.M0223233@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > similarity S について, V = S(O) - O とすると,
> 
> VはベクトルS(O)O ですね。

順序が逆. ベクトルOS(O).

> > V の平行移動 T_V  (T_V(x) = x + V) の逆変換
> > T_{-V}
> 
> T_{-V}(x)=V-xですね。

 T_{-V}(x) = x + (-V) です.

> >  S'(O) = O であり,
> 
> この等式はどのようにして示せますか?
> S'(O)=T_{-V}○S(O)(∵S'の定義)
> =V-S(O)(∵T_{-V}の定義)
> からどうなりますか?

 S'(O) = T_{-V}○S(O) = T_{-V}(S(O)) = S(O) + (-V) = S(O) - (S(O) - O) = O.

> > ベクトル OX_i らを正規直交基底とすれば,
> > ベクトル OS''(X_i) らも正規直交基底となり,
> > # 何故かはお考え下さい.
> 
> 正規直交なので∀i≠jに対し,<OX_i,OX_j>=0で,|OX_i,OX_i|=1ですね。

 |OX_i,OX_i| とは何でしょう.

> その時,直行する事は

直交することは, D_{1/r} が直交するベクトルを
直交するベクトルに移すことと, similarity S' が 
 (b) で既に見たように, 直交するベクトルを
直交するベクトルに移すことから, 明らかです.

> 正規になる事は
> |OS''(X_i)-OS''(X_i)|=|OS''(X_i)-OS''(X_i)|

示すべきは |OS''(X_i)| = 1 ですね.

> となって1になりませんが何処が間違っているのでしょうか?

一番最初です.

> > ベクトル OY = Σ a_i OX_i の S'' による像
> > ベクトル OS''(Y) について
> > OS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i) が成立しますから,
> > # 何故かはお考え下さい.

 OS''(Y) から a_i OS''(X_i) はどういう性質の
ベクトルとして, 或いは, O を始点とするとき,
ベクトル a_i OS''(X_i) の終点はどういう性質の
点として定まるのか, お考え下さい.

> > 実は S'' は線形写像で, しかも直交変換です.
> 
> 上記のOS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i)からS''は線形写像と言えますね。
> S''が直行変換「∀X,Y∈R^dに対し,<S''(X),S''(Y)>=<X,Y>」である事は

長さと角度を保存する変換であれば, 内積は保存されます.

> > S = T_V○D_r○S'' となります.

> で結局,Sを任意のsimilarityとするとS=T_V○D_r○S''で
> これがどうして平行移動&回転&拡縮の合成からなっていると分かるのでしょうか?
> S''はどんな写像か分からないのですよね。

平面での直交変換は, 回転か, 「回転と線対称の合成」,
即ち, improper な「回転」のどちらかになります.
お確かめ下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp