ご回答大変有難うございます。

>> Similarlityの定義です。
> 以下, 途中に書いてある話に応用することが目的ではありますが,
> この問題自体は線形代数の問題です.

えー!?　そうなんですか。。

>>  写像 S:R^d→R^dはもし,
>> |S(x)-S(y)|=r|x-y|
>> ならratio r>0でのsimilarityという。
> これが定義で,

はい。

>> それはあらゆるR^dでのsimilarityは平行移動,回転,rによる拡大の
>> 合成写像であるという事が示され得る。
> これを示したいのです.

了解いたしました。

>> それで問題3についてですが
>> Sがsimilarityだというのだから,0<∃r∈R;
>> ∀x,y∈R^dに対して,|S(x)-S(y)|=r|x-y|と書ける。
> 「書ける」ではなく, S: R^d → R^d はそれを
> 「満たす」のです.

はい。

>> (a)については『Sは線分から線分への写像である』
>> このSはSierpinski triangleと解釈していいのでしょうか?
>> そうだとすると具体的にどうやって証明すればいいのでしょうか?
> 違います. 上に書いてある S: R^d → R^d について
> 示すことになります. つまり, ある正数 r について,
> R^d の任意の点 x, y について |S(x) - S(y)| = r |x - y|
> が成立するなら, S は R^d の任意の線分を,
> R^d の線分に移す.

なるほど。

> x, y を端点とする線分上の任意の点 z の像 S(z) が
> S(x), S(y) を端点とする線分上にあることを
> 示せば良い.

L:={z∈R^n;zは線分xy上の点})とする。
z∈Lを採ると|S(x)-S(z)|=r|x-z|
とかするんでしょうか?
どのようにしてS(A)が線分と言えますでしょうか?

>> (b)については『もしL_1とL_2が角度αを作る2つの線分だとするとその時,
>> S(L_1)とS(L_2)は角度αか-αを作る』
>> はどのようにして証明すればいいのでしょうか?
> L_1 と L_2 の交点を A とし,
> L_1 上に A と異なる点 B を,
> L_2 上に A と異なる点 C を取る時,
> △ABC と △S(A)S(B)S(C) を比べましょう.

え? 具体的にどのようにするのでしょうか?

>> (c)についは『あらゆるsiilarityは平行移動,回転,
>> 考えによっては不適切な拡大である事を示せ』
>> はどのようにして証明すればいいのでしょうか?
> 「考えによっては不適切な」というのは全くの誤訳です.
> 任意の similarity は, 平行移動, 「回転」(improper なものの
> 場合も含む), 拡大・縮小の合成である, ことを
> 示すのです.

はい。

> 「回転」というよりは「直交変換」ですね.
> 平面における improper な rotation というのは
> 回転と線対称の合成のことです.
> 任意の similarity は, 平行移動と原点を固定する
> similarity の合成であることを示します.
> 原点を固定する similarity は(原点を中心とする)
> 拡大・縮小と直交変換の合成であることを示します.
> それで御仕舞です.

すいません。具体的にどのようにするのでしょうか?