ご回答大変有難うございます。

>> |(t-1)(y-x)|はy-xの長さから|t(y-x)|の長さを引いたもの)
>> で|x - z| + |z - y| = |x - y|
>> が示せました。
>  |t(y - x)| + |(t - 1)(y - x)| = |t||y - x| + |t - 1||y - x|
>  = t |y - x| + (1 - t) |y - x| = |y - x| ですから,
> それは良いのですが, |x - z| + |z - y| = |x - y| を満たす点
>  z は z = x + t (y - x)  (t ∈ [0, 1]) と書けることを示さないと
> 同値性の証明は完了しません.

そうでした。十分性も示さねばなりませんでしたね。
∀z∈{z∈R^2;|x-z|+|z-y|=|x-y|}を採ると
今,|x-z|+|z-y|=|x-y|で|x-z|,|z-y|,|x-y|は夫々,線分,xz,zy,xyの長さを表している。
従って,zは線分xy上にならねばならない。
(i) x≠yならt:=|z-x|/|y-x|と採れる。
(ii) x=yの時は明らか。
で宜しいでしょうか?

>> そうですか。するとS''=D_{1/r}○S○T_{-V}は
>> OX_iを-Vの分平行移動し(∵T_{-V}の定義),
>> Sで或る線分に写し(∵(a)),1/r倍の拡張。
>> ,,,でしょうか?
>  S'' は, O を O に移す, ratio が 1 の similarity である
> ということだけが分かります.

今,S''=D_{1/r}○S'=D_{1/r}○T_{-V}○Sですよね。
S''がOをOに写す事は
S''(O)=(D_{1/r}○T_{-V}○S)(O)=D_{1/r}○T_{-V}(S(O))
=D_{1/r}○(V-S(O))
=D_{1/r}((V-S(O)))でここからどうしてOに写る事が示せますでしょうか?

S''はratio1のsimilarityである事は任意のX,Y∈R^2に対して,
|S''(X)-S''(Y)|=|X-Y|を示せばよい。
今,S''=D_{1/r}○T_{-V}○Sで,Sはr倍の拡大でT_{-V}は平行移動で,D_{1/r}は1/r倍の拡大なので
結局,|S''(X)-S''(Y)|の長さは|X-Y|に等しい。
よって,|S''(X)-S''(Y)|=|X-Y|となったのですが。。。

> そのことから,
> 正規直交基底 OX_i の一次結合 OY = Σ a_i OX_i で表される点 Y が
> 新たな正規直交基底 OS''(X_i) の同じ係数の一次結合
>  OY'' = Σ a_i OS''(X_i) で決まる点 Y'' に移される,
> つまり S''(Y) = Y'' であることを示して, 初めて,
>  S'' が線形写像であることが分かります.

なるほど。S''(Σ a_i OX_i)=Σ a_i OS''(X_i)示せばいいのですね。
今,R^2だからS''(a_1OX_1+a_2OX_2)=a_1OS''(X_1)+a_2OS''(X_2)を示せばよい。
S''はratio1のsimilarityだからS''(a_1OX_1+a_2OX_2)は始点がOで
(∵上記よりS''はOをOへ写す),
終点はa_1S''(X_1)+a_2S''(X_2)へ写す(∵S''はratio1でT_{-V}での平行移動のみ)
よって S''(a_1OX_1+a_2OX_2)=a_1OS''(X_1)+a_2OS''(X_2
という感じでいいのでしょうか?

>> a_iOS''(X_i)はベクトルOS''(X_i)のa_i倍ですよね。
> それはそうですが, 何かの similarity や拡大・縮小で
> そうなっているわけではないので, 「拡張」という言葉を
> 使っても何の足しにもなりません.
>> つまり,a_iOX_iらは射影なのですね。
> 言葉だけ知っていても使えなければ空しい.

うーん,どのようにすればいいのでしょうか?

>>> 直交行列, 即ち, P の転置行列を Q とするとき, QP = E (単位行列)
>>> となる行列であるというのは御存知ですか.
>> はい。それは知っていますが。。
> それは怪しい.

すいません。

>> そうしますと,Qは線対称(improper)な変換を行う行列なのですね。
>  Q は P^{-1} で, やはり直交行列だというだけです.
> 平面の場合, P が回転であれば, Q も(逆への)回転で,
>  P が improper である場合には, Q も improper です.

つまり,PQやQPで元の場所に戻るのですね。

>> n次でのimproperな回転はP・t^(-P)=t^(-P)・P=E_nなる行列Pですね。
>  -P は変ですね.

そうでしたか。

> 平面でなくても, det P = 1 の直交行列か,
>  det P = -1 の直交行列か, の区別はあり,

そうでした。直交行列はSLと表せ,行列式の絶対値が1になる行列でしたね。

> 空間では, det P = 1 の直交行列に対応する変換が
> ある軸についての回転であるということは言えますが,
>  4 次元以上での直交変換は単に回転といえるようなものでは
> ありません.

n次元での回転はn次直交行列で変換の事と定義されていると習いましたが。。。
回転の定義はそのようなものではないのでしょうか?

> しかし, 具体的に書けないわけでもありません.

3次の直交行列は

1,0,0
0,cosθ,-sinθ
0,sinθ,cosθ
と
-1,0,0
0,cosθ,-sinθ
0,sinθ,cosθ

ですね。前者が回転,後者がimproperな回転ですね。n次元ではどのようになるのでしょうか?

>> これもS''をどのように置けばimproperな回転になるのでしょうか?
>  det P = -1 のものは det P = 1 のものと
> ある(余次元 1 の)超平面についての鏡映変換との
> 合成になります.

難しいんですね。

>> Q=t^Pですから
：
>> より, a^2+b^2=1を得ますから
>> ピタゴラスの定理からa=±sinθ,b=±cosθかa=±cosθ,b=±sinθで
> ひょっとして 16 通りの場合全てで考えたのですか.

いえ,途中までです。

>> a=d=cosθ,b=-c=sinθかa=-d=cosθ,b=c=sinθとなりますね。
> 随分と怪しい話ですね.

すいません。