ご回答大変有難うございます。

>> 「z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|」は線分の定義でなく 必要十分条件
>> なのでしょうか? そうしますと線分定義とは何なのでしょう?
> 普通は位置ベクトルが x + t(y - x)  (t ∈ [0, 1])
> で表される点の全体ではないでしょうか.

有難うございます。L:={x+t(y-x);t∈[0,1]}なのですね。
z∈Lを採るとz:=x+t(y-x)と書け,
|x - z| + |z - y|=|x -(x+t(y-x))|+|x+t(y-x)-y|=|t(y-x)|+|(t-1)(y-x)|
=|y-x|(∵|t(y-x)|はベクトルy-xの長さのt倍の長さ,|(t-1)(y-x)|はy-xの長さから|t(y-x)|の長さを引いたも
の)
で|x - z| + |z - y| = |x - y|
が示せました。

>>> |OX_i,OX_i| とは何でしょう.
>> OX_iのノルムの意味です。
> それは |OX_i| でしょう.

そうでした。すいません。これは失礼いたしました。

>>> OS''(Y) から a_i OS''(X_i) はどういう性質の ベクトルとして,
>>> 或いは, O を始点とするとき, ベクトル a_i OS''(X_i) の終点は
>>> どういう性質の 点として定まるのか, お考え下さい.
>> S''=D_{1/r}○S○T_{-V}なのでがOX_iをVの分だけ平行移動し,r倍の拡張,
> S は similarity であるというだけです.

そうですか。するとS''=D_{1/r}○S○T_{-V}はOX_iを-Vの分平行移動し(∵T_{-V}の定義),
Sで或る線分に写し(∵(a)),1/r倍の拡張。
,,,でしょうか?

>> 1/r倍の拡張してa_i倍の拡張だから
> 「 a_i 倍の拡張」とは何の話でしょう.

a_iOS''(X_i)はベクトルOS''(X_i)のa_i倍ですよね。
ベクトルOS''(X_i)の終点は0≦a_iの時,線分OS''(X_i)の長さをa_i倍した先っぽの点を終点です。
0>a_iの時は逆方向に終点を採る。

>> 結局,OX_iをVの分だけ平行移動し,a_i倍の拡張ですね。
>> つまり,終点X_iはVの分だけ平行移動し,a_i倍の拡張ですね。
>> つまり,S''はスカラー倍について閉じているという訳で,S''は線形
>> になるのですね。
> お話になりません.

そうしますと,a_iOS''(X_i)はOS''(X_i)のどのようなベクトルでしょうか?

> 肝心なのは, Y から直線 OX_i に下した垂線の足が a_i OX_i に
> 対応する点であり, S''(Y) から直線 OS''(X_i) に下した垂線の
> 足が a_i OS''(X_i) に対応する点になることが, S'' が長さと
> 角度を保存する変換であることから示される, ということです.

つまり,a_iOX_iらは射影なのですね。

>> 結局,S=T_V○D_r○S''と表せたので,Sは回転と拡縮と平行移動の合成になるのですね。
>>  んん? S''がimproperな回転になるのはどうすれば確かめれますか?
> 直交変換, 即ち, 内積を保つ線形写像, を表す行列 P は
> 直交行列, 即ち, P の転置行列を Q とするとき, QP = E (単位行列)
> となる行列であるというのは御存知ですか.

はい。それは知っていますが。。
そうしますと,Qは線対称(improper)な変換を行う行列なのですね。

> P = [[a, b],  についての, QP = E という方程式から,
>      [c, d]]
> P = [[cos θ, - sin θ],
>      [sin θ,   cos θ]]
> 又は
> P = [[cos θ,   sin θ],
>      [sin θ, - cos θ]]
> の形の行列のみが解であることをお確かめ下さい.

前者が2次の回転で後者が2次のimproperな回転(線対称&回転)なのですね。
n次の場合は2次ように具体的には書けないのですね。
n次でのimproperな回転はP・t^(-P)=t^(-P)・P=E_nなる行列Pですね。
これもS''をどのように置けばimproperな回転になるのでしょうか?

Q=t^Pですから
QP=
(a,c)(a,b)
(b,d)(c,d)
=
(a^2+c^2,ab+cd)
(ab+cd,b^2+d^2)
=
(1,0)
(0,1)
と
(a,b)(a,c)
(c,d)(b,d)
=
(a^2+b^2,ac+bd)
(ac+bd,c^2+d^2)
=
(1,0)
(0,1)
より, a^2+b^2=1を得ますからピタゴラスの定理からa=±sinθ,b=±cosθかa=±cosθ,b=±sinθでそれ以外の等式から
a=d=cosθ,b=-c=sinθかa=-d=cosθ,b=c=sinθとなりますね。