工繊大の塚本です.

In article <9858d2f3-1c87-4093-98f1-3e25c37c7a87@b2g2000prf.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> Cl(Y)=Int(Y)∪Bd(Y)が閉包の定義ですよね。
> Int(Y)={x∈X;∃U∈nbhd(x,X) such that U⊂Y}
> Bd(Y)={x∈X;∀U∈nbhd(x,X) such that U∩Y≠φ,U∩Y^c≠φ}
> (但し,nbhd(x,X)は点xのX内での近傍系)

「 Y を含む最小の閉集合」という定義の方が分かりやすい
と思いますが, それでも構いません.

> Cl(Y)(=Int(Y)∪Bd(Y))⊂B^cである事をしめしてみます。
> ∀x∈Cl(Y)に対してx∈Int(Y)かx∈Bd(Y)
> (i) x∈Int(Y)(⊂Y)なら内点の定義より∃U∈nbhd(x,X); U⊂Y
> この時,x∈Yになっている。よって①よりx∈B^c
> (ii) x∈Bd(Y)なら ∀U∈nbhd(x,X),U∩Y≠φ且つU∩Y^c≠φ.
> それからx∈B^cにどうしても持っていけません。

 x ∈ B とすると, 開集合 B 自身が x の近傍ですが,
 B ∩ Y = φ ですから, x ∈ Bd(Y) に矛盾します.
 従って x ∈ B^c です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp