ご回答大変ありがとうございます。


>  T_xx = { ∪_{(t, s)∈H} t×s ; H ⊂ T×S }
> です.

そうです。このように書きたかったのでした。


>> もし,X_1×X_2が非連結だとすると,φ≠∃A,B∈T_xx…①;X_1×X_2=A∪B,A∩B=φ…②.
>>  A=∪[t∈T']t×∪[s∈S']s,B=∪[t∈T"]t×∪[s∈S"]s (但しT',T"⊂T,
>> S',S"⊂S)
> ですから, A = ∪ t×s なので, A = (何か)×(何か) の形で
> あるとは限りません. B も同様です.

そ、そうでした。すいません。失礼いたしました。


>> でX_1=∪[t∈T']t∪∪[t∈T"]t, X_2=∪[s∈S']s∪∪[s∈S"]sとなっていて②から
>> ∪[t∈T']t∩∪[t∈T"]t=φでなければならない。 しかも①から∪[t∈T']t≠φ,∪[t∈T"]t≠φ
>>  したがってX_1は非連結となってしまい矛盾。
>> でよろしいでしょうか?
> これでは証明になりません.
> X_1, X_2 が連結のとき, X_1×X_2 の開集合 A, B で
> X_1×X_2 = A ∪ B, A ∩ B = φ となるものがあった
> としましょう.
> x ∈ X_1 に対して, A_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ A }
> B_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ B } とします.
> A_x, B_x は X_2 の開集合になります. # 証明して見て下さい.

A_xとB_xはX_2への射影の像になってますよね。
A,BはX_1×X_2の開集合なので
A=∪_{(t, s)∈H}t×s,B=∪_{(t, s)∈H'}t×s, (但し,H,H'⊂T×S)
なのでA_x=∪_{t∈H}t,B_x=∪_{t∈H'}t,  (但し,H,H'⊂T)
よって位相の定義よりA_x,B_xともX_2での開集合になっている。

ですね。


> X_2 = A_x ∪ B_x, A_x ∩ B_x = φ ですから, X_2 の連結性より,
> A_x = φ (B_x = X_2) または B_x = φ (A_x = X_2) のどちらか
> 一方だけが成立します.

そうですね。


> A_1 = { x ∈ X_1 ; A_x = X_2 }, B_1 = { x ∈ X_1 ; B_x = X_2 }

条件「A_x = X_2」は 「x ∈ X_1」に何も制限を与えていないので
A_1=φ(A_x=φの時)かA_1=X_1(A_x=X_2の時),
A_1=X_2(B_x=X_2の時)かB_1=φ(B_x=φの時),
となりますね。


> とすると, A = A_1×X_2, B = B_1×X_2 であることが分かります.

そうですね。


> A_1, B_1 は X_1 の開集合で,

そうですね。確かに開集合になってますね。


> X_1 = A_1 ∪ B_1, A_1 ∩ B_1 = φ
> となります. X_1 の連結性より, A_1 = φ (A = φ) または
> B_1 = φ (B = φ) のどちらかが成り立ちます.
> これが示すべきことでした.

すいません。大変ありがとうございます。


> 数学的帰納法で, 有限個の連結位相空間 X_1, X_2, ... , X_n
> の直積位相空間 Π_{i=1}^n X_i も連結であることが
> 分かります.

あとは有限個だから上記命題を繰り返せばいいですね。


>> (1)についてですが α∈J＼K に関しては、1 点からなる集合(その位相は{φ,{a_α}})の直積となり、
> α∈J＼K なる α に対しては X_α=A_α∪B_αなる開集合A_α,B_αと
>> して A_α =B_α= {a_α}が採れ, X_K':=Π[α∈J＼K]X_αは連結。 α∈Kにおいては
>  X_α の有限直積となっていて 各α∈KでX_αは連結なので提起頂いた命題より
>> X_K":=Π[α∈K]X_αも連結。 よってX_K=X_K'×X_K"は連結。 となったのですがこれではダメでしょうか?
> X_K は Π_{i=1}^n X_{α_i} と同相ですから, それで良い
> わけです.

ありがとうございます。安心いたしました。


>> ここがわかりません。BはYの開集合ならCl(Y)∩B=φでなければなりませんが
>>BはXでの開集合ですよね。なのでCl(Y)∩B=φと簡単に言えないのではないでしょうか?
> Cl(Y) は X の閉集合で

今Cl(Y)=Xとなっていて全体集合は開集合でもあり,閉集合でもあるからですね。


> Y を含むもののうち最小のものです.
> Y ∩ B = φ とは B の X における補集合 B^c について
> Y ⊂ B^c となることですが, B^c は閉集合ですから

Xにおける閉集合ですよね。


> Cl(Y) ⊂ B^c となります. つまり Cl(Y) ∩ B = φ です.

B^cはXにおける閉集合ならCl(X)⊂B^cなら即納得ですが
Cl(Y)⊂B^cは、、、うーん。


Chikako