ご回答誠にありがとうございます。

>> ここで選択公理より、 α∈J＼K なる α に対しては A_α = {a_α} となるようなのですが
> 何故ここで選択公理が必要なのかわかりません。
> A_α とは何でしょう.

すいません。
A_α:={a_α}と定義するとと言う意味です。

仕切りなおします。

K={{x_α}∈2^X;∀α∈J,x_α∈X_α,∀α∈J＼K,x_α=a_α}と書ける。その時
X_K=X_1×X_2×…×X_n×{a_α1}×{a_α2}×… という具合に書ける。
(実際,X_Kは可算とは限りませんが).
そこでA_α:={a_α}　(for∀α∈J＼K)と定義できる(∵axiom of choice)。
そしてT_kをX_Kの位相(T_k:={X_K∩t∈2^X;t∈T(但しTはXの位相)})とすると,
φ≠A,B∈T_k, A∪B=X_K …①において
先ず,φ≠∀A_α,B_α∈T_α(:はX_αの位相)を採ると
A_α∪B_α=X_α,A_α∩B_α≠φ(for ∀α∈K)で
∀α∈J＼KでさえもT_α={φ,{a_α}}なので,A_α=B_α={a_α}と採れば
φ≠∀A_α,B_α∈T_α,A_α∪B_α=X_α,A_α∩B_α≠φ(for ∀α∈J)と言えた事になり,
T_k=Π[α∈K:有限集合]T_α×Π[α∈J＼K]{φ,{a_α}}なので
①においてA∩B≠φが言えた事になりよってX_Kは連結。

※もしKが無限集合ならX_Kの位相(直積位相)T_kは単に各T_α(α∈K)の直積として表せませんよね。


> 正確な記述はどうなっておりますでしょうか.  a = (a_α) ∈ X の
> 存在が, 正に, 選択公理でありますから, そのことの注意ではないで
> しょうか.

そのようです。
無限集合から部分無限集合を必ず選び出せるというのが選択公理でしたね。
納得です。


>> X_Kの位相は直積位相T_kと書けますよね。 φ≠A,B∈T_k,  A∪B=X_KでA_α∪B_α=X_α
>>  (for ∀α∈K)
> A_α, B_α は何でしょう.

A_α, B_α∈T_α(:X_αの位相)の意味でした。


> X_K でなく, 上の T_K でしょうか.

そうです。T_kでした。失礼いたしました。


> Y には X の部分位相空間
> としての位相を入れるので, それとこれとが等しいのは宜しいで
> しょうか.
> # ここでは必要がないと思います.

了解いたしました。
「(但しσ(∪[J⊃Kは有限集合]X_K)は∪[J⊃Kは有限集合]X_Kから生成される位相)」
の部分は
「(但しσ(∪[J⊃Kは有限集合]X_K)は∪[J⊃Kは有限集合]X_Kの冪の部分族から生成される位相)」
と言いたかったのでした。
でも今となってはT_yはXの相対位相を採ればよい事が分かったのでもはや無用なコメントです。


>> A,B∈T_yでA∪B=YなるA,Bを採ると,
>>T_yの元は∪[J⊃Kは有限集合]X_Kの元は各T_kの元の有限個共通部分
>>で 任意個和集合の形になっていて
> この部分はどういう意味でしょうか.

すいません。ここも∪[J⊃K:有限集合]X_Kから生成される位相と部分族から生成される位相をごっちゃにしてました。


>> あるKについてX_K=A_K∪B_K (但しA_K,B_K∈T_k)となっていてこの時,
> ここでも A_K, B_K は何でしょう.

A_K,B_KはX_Kでの開集合の意味です。



>> X_Kは連結だからA_K∩B_K≠φ よってA∩B≠φでYは連結。でいいのでしょうか?
>> (なんか簡単すぎ?)
> 簡単である筈ですが, A_K, B_K をきちんと定義されていない
> ので, 何とも言えません.
> (2) は, a ∈ X_K であることに注意すれば, 確かに簡単です.

すいません。大幅訂正させていただきます。
今,Yが非連結とするとφ≠∃A,B∈T_y…③;Y=A∪B,A∩B=φ…④と言える。
X_K=(A∩X_K)∪(B∩X_K)…⑤でA∩X_K≠φ…⑥である
(∵もし,A∩X_K=φなら,a_(α_0)はAに含まれないα_0∈J＼Kが存在する。
今,X_KとAは直積集合の形をしているので
X_K=X_1×X_2×…×X_n×{a_n+1}×{a_n+2}×…,
A=A_1×A_2×…×A_n×{a_n+1}×{a_n+2}×…×{a_(α_0-1)}×φ×{a_(α_0+1)}×
(A_1,A_2,…,A_n⊂X_i(i=1,2,…,n))という風に書ける。
よって直積集合の定義より,A=φ.これは③に矛盾する)
同様に,B∩X_K≠φ…⑦も言える。
よって③,④,⑤,⑥,⑦よりX_kが連結である事に反する。
よってYは連結である。

で大丈夫でしょうか?


>> (3)については Xの任意の点の任意の近傍はYと交叉する事を言えばいいのですよね。
>>  でもx∈X＼{(a_α)}を採ってもこの任意の近傍がYと交叉する事は どうすれば言えますでしょうか?
> x の任意の近傍は x を含むある開基, つまり, 準開基の有限個の
> 共通部分を含みます. それを U = ∩_{i=1}^n proj_{α_i}^{-1}(U_{α_i})
> としましょう.  K = { α_{i_1}, α_{i_2}, ... , α_{i_n} } と
> すると, U は X_K と空でない共通部分を持ちます.
> Y が連結であり, X が Y の閉包に一致すれば, X も連結である
> のは宜しいでしょうか.

x∈U:=∩_{i=1}^n proj_{α_i}^{-1}(U_{α_i})はxを含むXでの近傍で
 K = { α_{i_1}, α_{i_2}, ... , α_{i_n} } の時
確かにX_KとUは交叉しますね。
よってx∈Cl(Y). 即ちX⊂Cl(Y).X⊃Cl(Y)明らかなのでX=Cl(Y)ですね。

でこれからXが連結と結論付けられるのは何故なのでしょうか?