工繊大の塚本です.

In article <73194f1c-1093-4012-899a-937f9aba11c1@p10g2000prf.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> In article <081012195313.M0107921@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > x ∈ X_1 に対して, A_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ A }
> > B_x = { y ∈ X_2 ; (x, y) ∈ B } とします.
> > A_x, B_x は X_2 の開集合になります. # 証明して見て下さい.
> 
> A_xとB_xはX_2への射影の像になってますよね。

 proj_2: X_1×X_2 → X_2 での像 proj_2(A), proj_2(B) と
 A_x, B_x とは 違います.

 A_x = ({x}×X_2) ∩ A, B_x = ({x}×X_2) ∩ B ですから,
切断と呼ぶべきものです.

> A,BはX_1×X_2の開集合なので
> A=∪_{(t, s)∈H}t×s,B=∪_{(t, s)∈H'}t×s, (但し,H,H'⊂T×S)
> なのでA_x=∪_{t∈H}t,B_x=∪_{t∈H'}t,  (但し,H,H'⊂T)

 A_x, B_x は X_2 の部分集合です. 更に,

  ∪_{(t, s)∈H} s = ∪_{x∈X_1} A_x,
  ∪_{(t, s)∈H'} s = ∪_{x∈X_1} B_x,

ですから, A_x, B_x とそれらも違います.

> > Cl(Y) は X の閉集合で
> 
> 今Cl(Y)=Xとなっていて全体集合は開集合でもあり,閉集合でもあるからですね。

全て X の位相での話ですよ. Y は X の部分集合で,
 X の閉集合の中で Y を含むもののうち, 最小のもの
が Cl(Y) です. Cl(Y) = X となることとは別です.

> > Y ⊂ B^c となることですが, B^c は閉集合ですから
> 
> Xにおける閉集合ですよね。

勿論, そうです.

> > Cl(Y) ⊂ B^c となります. つまり Cl(Y) ∩ B = φ です.
> 
> B^cはXにおける閉集合ならCl(X)⊂B^cなら即納得ですが
> Cl(Y)⊂B^cは、、、うーん。

 Cl(X) というのを持ち出すのは, 閉包について何か
誤解されておりませんでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp