In message <800c7853.0402042245.e895f14@posting.google.com> eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> そして、その答は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n) 
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのです
> が、そのことを証明するのは、なかなか厄介なのではという予感がします。

ううう。いいかげんにしてほしい。
こう延々と得意げに書かれると、却ってあわれに感じられてきますが。
それにしてもねえ。

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簡単のため f(x,y) はテーラー展開可能とします。

すると：
　(A) fy(0,0) = fxx(0,0) = 0 という条件から、f(x,y) は下のように書けます。
　　　f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + （x, y の３次以上の項）...
　(B) さらに fxxy(0,0) = 0 という条件を加えると：
　　　f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + px^3 + qxy^2 + ry^3
　　　　+ （x, y の４次以上の項）...

「n 次以上の項」の部分はなんでもよく、例えば項数が有限なら f(x,y) は
x, y の多項式になりますが、それらはすべて問題の条件を満たします。

> うっかりして、積分定数を書き添えておくのを忘れていました。　( ^ ^ ;)

あああああ。テーラー展開も知らないんだろうか？

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元の問題に戻ると、(A) が成り立つことと (B) が成り立つことの間には、
「fxx(0,0)=0 が成り立つ」という同語反復以上に簡潔 and/or 意味のある
表現ができるとも思えません。
x の階数を減らして：
　「fx(0,0)=fy(0,0)=0（つまり (0,0) は停留点）のとき、fxy(0,0)=0
　　となるのはどういう場合か」
と聞かれても、それは f(x,y) の方向性についての情報はありますが、
あまり重要とも思えません。（座標軸を回転しただけで変わっちゃうし。）

質問者にはこれが何か理由があっての質問なのか、単なる思いつきなのかを
言ってもらえばもう少しは何か言えるかもしれませんが。

（平賀＠筑波大）