丸山さんの疑問とは直接関係ないかもしれませんが
g''/gについては面白い特徴があるので考察してみます。

これは微分方程式を解いてると良く出てくるパターンです。

つまり、

(g'/g)'=g''/g-(g'/g)^2

となるからです。g'/g=y(x)，g''/g=f(x)とおくと上の式は

y'(x)+y(x)^2=f(x)　・・・（１）

となります。これはRiccati（リカッチ）の微分方程式といって
物理やってるといろんなところに顔を出してきます。

この方程式はf(x)によって様々な解が存在して最も有名なのは
f(x)=1の時で特解は

y(x)=tanh(x)

となります。Riccatiの微分方程式は１つの特解与えられると容易に
一般解を構成することができます。そのときの特解をy1(x)とおくと

y(x)=y1(x)+1/ξ(x)

が（１）の一般解になります。ここでξ(x)は上の式を（１）へ代入する
ことでξ(x)に関する１階の線形微分方程式が得られますのでこれを
解くことで得られます。

その他のf(x)についてはｘのベキ乗で特別な場合以外は一般に解法
があるわけではありません。

これが丸山さんの疑問にどう関連するかはもうちょっと考えてみます。

では。