ご回答大変ありがとうございます。

>> ここで2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは
> log z が z ≠ 0 で(多価)解析的であることはご存知ですか.

はい。z=rexp(iθ)と極形式で表されるならば
ln(z)=ln(r)+i(θ+2nπ) (但し,n∈Z)と書けますね。
そしてΣ_{k=0}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kに於いて
収束半径を求めてみますと
lim_{k→∞}1/|[(-1)^k/(k+1)]/[(-1)^{k-1}/k]|
=lim_{k→∞}|(-1)^{k-1}/k・(k+1)/(-1)^k|
=lim_{k→∞}|1・(1+1/k)/-1|=1なので収束半径は1で
|z-1|<1なるzの時,べき級数Σ_{k=0}^∞(z-1)^k/kは収束しますので
|z-1|<1で解析的なのですね。

> log z の z = 1 の周りでのベキ級数表示は
> 収束半径が 1 ですが, 勿論, それを示すだけでは
> 十分ではありません.

それでは,どうすれば1+iC+2ln(z)が解析的である事を示せますでしょうか?

>>  z-1>1の時, lim_{k→∞} (z-1)^k/k=∞なので
> z は複素数ですので, 大小関係というのは如何なものか.

そうでした。これは失礼いたしました。

>> 交項級数についての命題
> 交項級数というのは, Σ_{i=1}^∞ (-1)^n a_n, a_n > 0 の
> 形の級数のことです. 以下のものは Abel の補題もどきですが,

そうですね。これはAbelの補題についてでした。
a_n>0という仮定も要りましたね。

>> 「交項級数Σ_{i=1}^∞ a_i x^i が収束する ⇔ lim_{n→∞} |a_n|x^n = 0」
> a_i = (-1)^i (1/i), x = -1 とすると,
> lim_{n→∞} |a_n| x^n = lim_{n→∞} (-1)^n (1/n) = 0 ですが,
> Σ_{i=1}^∞ a_i x^i = Σ_{i=1}^∞ (-1)^i (1/i) (-1)^i

これは各項が常に正なのでもはや交項級数とは呼べませんね。

> = Σ_{i=1}^∞ 1/i = ∞ です.

調和級数Σ_{k=1}^∞ 1/n^sは発散(s≦1の時), 収束(s>1の時)からそのようになりますね。

> 上だけでは条件が足りないのが分かりますね.

はい。「a_n>0とする時,Σ_{n=1}^∞ (-1)^n a_n x^n ⇔ lim_{n→∞} a_n x^n =0」が正しい補題です
ね。

>> から|z-1|≦1の時,lim_{k→∞} (z-1)^k/k =0 なので, |z-1|≦1の時,1+iC+2Σ_{k=1}^∞
>>  (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは収束するとわかりますね。
> ということで, この議論は駄目です.

そうしますとやはりどうすれば1+iC+2ln(z)が解析的である事を示せますでしょうか?