工繊大の塚本です.

単に, log z で表せば良く分かる, というだけのところに
色々と考えてみるのは結構ですが,

In article <5aae83af-a0ce-4d04-b206-35c0b05e0a6d@g1g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ここで2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは

 log z が z ≠ 0 で(多価)解析的であることはご存知ですか.
 log z の z = 1 の周りでのベキ級数表示は
収束半径が 1 ですが, 勿論, それを示すだけでは
十分ではありません.

>  z-1>1の時, lim_{k→∞} (z-1)^k/k=∞なので

 z は複素数ですので, 大小関係というのは如何なものか.

> 交項級数についての命題

交項級数というのは, Σ_{i=1}^∞ (-1)^n a_n, a_n > 0 の
形の級数のことです. 以下のものは Abel の補題もどきですが,

> 「交項級数Σ_{i=1}^∞ a_i x^i が収束する ⇔ lim_{n→∞} |a_n|x^n = 0」

 a_i = (-1)^i (1/i), x = -1 とすると,
 lim_{n→∞} |a_n| x^n = lim_{n→∞} (-1)^n (1/n) = 0 ですが,
 Σ_{i=1}^∞ a_i x^i = Σ_{i=1}^∞ (-1)^i (1/i) (-1)^i
 = Σ_{i=1}^∞ 1/i = ∞ です.

上だけでは条件が足りないのが分かりますね.

> から|z-1|≦1の時,lim_{k→∞} (z-1)^k/k =0 なので,
> |z-1|≦1の時,1+iC+2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは収束するとわかりますね。

ということで, この議論は駄目です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp