工繊大の塚本と申します.

In article <483e4d53-1bba-480f-af6d-e52a3e91db5a@l5g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Q.] Suppose u(x,y)=1+ln(x^2+y^2) whenever x>0.
> Find the harmonic conjugate of u in the given region.
> Alternatively, find an analytic function f so that Re(f(x+iy))=u(x,y).
> という問題です。
> 
> 前半については
> uのharmonic conjugateをv(x,y)とすると
> u_x=2x/(x^2+y^2)でv_y=u_xが成り立つとすると
> ∫v_ydy=∫2x/(x^2+y^2)dyと書け,
> y=xtanθと置くと,dy=xdθ/(cosθ)^2で
> v(x,y)=∫2x/(x^2+y^2)dy=∫2x/(x^2+x^2(tanθ)^2)xdθ/(cosθ)^2
> =2∫dθ=2θ+c_1 (但し,c_1は積分定数)
> =2arctan(y/x)+c_1
> 同様に
> v(x,y)=∫-2y/(x^2+y^2)dx=-2arctan(x/y)+c_2 (但し,c_2は積分定数)
> となると思います。
> 
> 2arctan(y/x)+c_1=-2arctan(x/y)+c_2からどうにも先に進めません。

 arctan(x/y) = π/2 - arctan(y/x) + nπ  (n は整数) です.

> この方程式が解を持つのかも分かりません。
> どうすればいいのでしょうか?

従って, v(x, y) = 2 arg(z) + C  (C は実数) が一般解です.

> 後半については
> analytic function f (つまり,fの定義域の各点での近傍でfはべき級数展開可能)
> を求めてみますと,
> 題意からRe(f(x+iy))=1+ln(x^2+y^2)という訳で
> しかも(命題)「f(z)=u(x,y)+iv(x,y)がanalitic function
>  ⇔ vはuにharmonic conjugate」
> を使うと
> 前半で既にv(x,y)が求まったのだから(実際は頓挫しておりますが(T_T)),
> f(x+iy)=1+ln(x^2+y^2)+iv(x,y)
> となると思いますがこれでいいのでしょうか? ちと簡単すぎなような。。

  log(x^2 + y^2)
  = log ((x^2 + y^2)^{1/2})^2
  = 2 log((x^2 + y^2)^{1/2})
  = 2 log r 

ですから,

  f(z) = 1 + 2 log r + i(2 arg(z) + C) = 1 + iC + 2 log z.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp