u(x,y)=1+ln(x^2+y^2)(但し,x>0)とするとuのharmonic conjugateを求めよ

いつも大変お世話になっております。

[Q.] Suppose u(x,y)=1+ln(x^2+y^2) whenever x>0.
Find the harmonic conjugate of u in the given region.
Alternatively, find an analytic function f so that Re(f(x+iy))=u(x,y).
という問題です。

前半については
uのharmonic conjugateをv(x,y)とすると
u_x=2x/(x^2+y^2)でv_y=u_xが成り立つとすると
∫v_ydy=∫2x/(x^2+y^2)dyと書け,
y=xtanθと置くと,dy=xdθ/(cosθ)^2で
v(x,y)=∫2x/(x^2+y^2)dy=∫2x/(x^2+x^2(tanθ)^2)xdθ/(cosθ)^2
=2∫dθ=2θ+c_1 (但し,c_1は積分定数)
=2arctan(y/x)+c_1
同様に
v(x,y)=∫-2y/(x^2+y^2)dx=-2arctan(x/y)+c_2 (但し,c_2は積分定数)
となると思います。

2arctan(y/x)+c_1=-2arctan(x/y)+c_2からどうにも先に進めません。
この方程式が解を持つのかも分かりません。
どうすればいいのでしょうか?

後半については
analytic function f (つまり,fの定義域の各点での近傍でfはべき級数展開可能)を求めてみますと,
題意からRe(f(x+iy))=1+ln(x^2+y^2)という訳で
しかも(命題)「f(z)=u(x,y)+iv(x,y)がanalitic function ⇔ vはuにharmonic conjugate」
を使うと
前半で既にv(x,y)が求まったのだから(実際は頓挫しておりますが(T_T)),
f(x+iy)=1+ln(x^2+y^2)+iv(x,y)
となると思いますがこれでいいのでしょうか? ちと簡単すぎなような。。

吉田京子