ご回答大変有難うございます。

> I ∋ π(x) + π(y) ですね.

すいません。有難うございます。

>> 「(命題3)Rを可換な単位的環とする。Rが体⇔{A;AはRの部分環}={{0},R}
> この命題は誤りです. { A ; A は R のイデアル } = { {0}, R }
> でないといけない. 証明でもイデアルであることを使って
> いるでしょう.

そうでした。有難うございます。

>その正しい形が分かっているときに,
>> 「(命題4)Rを可換な単位的環とする。 R≠IをRの
>> イデアルとする。 R/Iが体⇔{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}
> こちらを導くのには, R/I のイデアルと,
> R の I を含むイデアルとの間の対応を
> 理解していないといけません.

そうですね。

>> 十分性はもし,{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}なら{A;AはRの部分環}={{0},R}となる
>>  (∵もし{0}<∃A<Rとすると,,,??)」
>> ここで先に進めません。
> となるのはどうしてでしょうか.

すいません。

> 但し, 示すべきは
> { A ; A は R/I のイデアル } = { {0}, R/I } です.

そうでした。これが示せれば終わりでした。
{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}の時,{ A ; A は R/I のイデアル } = { {0}, R/I } である。
もし { A ; A は R/I のイデアル } ≠ { {0}, R/I } ならば
∃AはR/Iのイデアルで{0}≠A(つまり,{0+I}≠A)且つR/I≠Aなるものがあったとすると
AはR/Iのイデアルだから{j+I;j∈J}=Aで{j+I;j∈J}=AなるRのイデアルJがある。
もし,I<Jなら{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}なのでA=R/Iで今,R/I≠Aであった事に反する。
次に{0}<J<IとするとA={0}(={0+I})となり,これも今,{0+I}≠Aであった事に反する。
よって{A;AはR/I のイデアル}={{0},R/I}となる。
よって命題3からR/Iは体となる。ですね。

> R/I に {0}, R/I 以外のイデアル A があれば,
> 準同型写像 π: R → R/I による A の逆像 π^{-1}(A) = J は
> I を含む R のイデアルで, I とも R とも異なるものになります.

ありがとうございます。準同型写像で示すのですね。