ご回答大変有難うございます。

>> 今,π(k):=kmod(m)と定義されてるんですよね。Z_mは単項イデアル環ですから
>> I=(xmd(m))=({y∈Z;m|y^-1x})と書ける。そのπによる引き戻しですから
> I の表示に「 y^{-1} 」がどうして出てくるのでしょうか.

すいません。xmodm={y∈Z;m|(y-x)}でした。これがxmodmの定義ですよね。

>> π^-1(I)=(x)でここからどうしてmZを含むと分かるのでしょうか?
> 一言で言えば, π は Ker π = mZ となる準同型なので,

π(k):=kmodmがπの定義でしたから,π(k)=0modkならk≡0(mod m)でなければなりませんね。
よって,Kerπ=mZ(=(m))なのですね。

> 「当たり前」.
> π(mZ) = 0 ∈ I ですから,
> π^{-1}(I) = { a ∈ Z | π(a) ∈ I }
> は mZ を 含みます.

有難うございます。分かりました。
ところでIがイデアルならπ^-1(I)もイデアルである事はどうすれば言えるのでしょうか?
そしてmZを含む事とπ^-1(I)が単項イデアルである事からIも単項イデアルである事はどうすれば言えますでしょうか?

>> Z_m/I ～ Z/kZの環同型写像fは f(xmod(m)(π(k))):=xmod(k)と定義されているのですね。
> 何だか変な書き方ですがまあ良いでしょう.

了解いたしました。

>> つまり,Z_m/I ～ Z/kZが成り立つのはIが素イデアルの時なのですね。
> 違いますよ. Z_m/I ～ Z/kZ はいつでも成立しています.

そうですね。

> I が Z_m の素イデアルということと, Z_m/I が整域である
> ということは同値ですから, それは Z/kZ が整域であること
> と同値です.

必要性はIがZ_mの素イデアルだというのだから,にI≠Z_mでx,y∈Z_mに対し,xy∈Iならx∈Iかy∈Iと書ける。
x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,(x+I)(y+I)=0とすると,xy+I=0(∵剰余類の掛け算の定義)でxy+I=0+Iでxy=0でここ
からx=0かy=0はどうすれば言えますでしょうか?
何処で"x,y∈Z_mに対し,xy∈Iならx∈Iかy∈I"という性質を使えばいいのでしょうか?

十分性はZ/kZが整域である事から,x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,(x+I)(y+I)=0ならx+I=0かy+I=0,つまりx=0か
y=0でここからどうすればIが素イデアルである事が導けますでしょうか?

>> Z/kZが体だからkは素数ですよね。 Z/kZが体でZ_m/I ～ Z/kZならば
>> どうやってIが極大である事を得れますか?
> こちらも, I が Z_m の極大イデアルということと, Z_m/I が
> 体であることが同値ですから, それは Z/kZ が体であることと
> 同値です.

必要性は(自然な環準同型)f:Z→Z/IをZ∋∀z→f(z):=z+Iとすると,これは全射環準同型で
環同型写像∃g:{I;Kerf⊂I,IはRのイデアル}→{I;IはR/Jのイデアル}
(∵R,R'が環で全射環準同型∃h:R→R'ならKerhはRのイデアルで環同型写像∃l:{J;Kerh⊂J,JはRのイデアル}→{J;Jは
R'のイデアル})。
もしJがRでの極大イデアルならg(J)={0+J}でg(R)=R/Jとならねばならない(∵KerfはRのイデアル。そして極大イデアルの定
義)。
従って「Rを可換環,IをRのイデアルとする。R/Jが体⇔{I;J⊂I,IはRのイデアル}={R,0}」より,Z_m/Iは体。
十分性はZ_m/Iが体なら{J;I⊂J,JはZ_mのイデアル}={Z_m,0}なのでIは極大イデアル(∵極大イデアルの定義)。

>> mが合成数の時,gcd(a,m)=1の時(a)=Z_mで非素イデアル&非極大イデアルですね。
>> gcd(a,m)≠1でaは素数の時は(a)は素イデアル&極大イデアルになるのですね
>> (∵Z_12で(2)の場合など)。 gcd(a,m)≠1でaは合成数の時は(a)は非素イデアル
>> &非極大イデアルになるのですね (∵Z_20で(9)の場合など)。
> そうですが, gcd(20, 9) = 1 ですよ.

どうもありがとうございます。
mが素数,(0)のみが素&極大。それ以外は非素&非極大。
mが合成数でgcd(a,m)=1なら(0)や(a)は非素&非極大。
mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは素数なら(a)は素&極大。
mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは合成数なら(a)は素&極大。

となるのですね。