工繊大の塚本と申します.

In article <58cf20df-23c0-4b26-8748-e04f9a0c4703@q16g2000yqg.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Zを整数環とする。Z_m (mは自然数)の
> 極大イデアル(真に大きいイデアルはZ_mのみ)と
> 素イデアル(a,b∈Z_mでab∈Iならa∈Iか b∈I)を求めよ。
> という問題ですが
> Z_7とかなら単項イデアル(2),(3),(5)が極大&素イデアルとなり,
> Z_12とかなら 単項イデアル(2),(3),(7),(11)が極大&素イデアルとなるので
> 1<n<mの内,素数となるnが極大&素イデアルとなったのですが
> 勘違いしてますでしょうか?
> 常に極大イデアルと素イデアルが一致しているのがなんだか解せませんが。

 Z_7 は体ですから, 0 以外の元には逆元が存在しますので,
イデアルが 0 以外の元を含めば, 1 も含むことになり,
 (2) とか (3) とか (5) とかは Z_7 に一致します.
 Z_7 の極大イデアル・素イデアルは (0) だけです.

 Z_12 の場合も, 7, 11 には逆元がありますから,
 (7), (11) は Z_12 になります. 従って, 素イデアル
ではありません.

 Z_12/(2) 〜 Z_2 は体ですから, (2) は極大イデアルで
当然素イデアルでもあります.

 Z_12/(3) 〜 Z_3 は体ですから, (3) についても同様.

一般にどうなるかが問題ですが,
 Z_m のイデアルが全て単項イデアルであることを示して
おいて, m の素因数分解から議論して下さい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp