ご回答大変有難うございます。

>> π:Z→Z_m:環準同型でπ(xy)∈Iなので (∵∀x∈π^-1(I)…①,∀z∈Z…②に対しπ(x)∈I…③
>>  とπ(z)∈Z_mでI∋π(x)π(z)(∵③とIはZ_mのイデアルよりイデアルの定義)
：
> である, という順序で記述するものです.
> 「π(xy)∈Iなので」というのは全く意味不明です.

これはどうも失礼いたしました。

> 後, 和について閉じていることも示す必要がありますが,
> この位は分かって当然でしょう. 但し, きちんと証明の
> 形になるように書けなければ, 貴方の述べることを他の
> 人々に理解して貰うのは難しいことでしょう.

x,y∈π^-1(I)に対してx+y∈π^-1(I)を示す。
x,y∈π^-1(I)より,π(x),π(y)∈I(∵逆像の定義)と書け,
I∈π(x)+π(y)(∵IはZ_mのイデアル)
=π(x+y)(∵πは環準同型)
従って,x+y∈π^-1(I)と書ける(∵逆像の定義)。
でいいのですね。

>> 「mZを含む事とπ^-1(I)が単項イデアルである事から Iも単項イデアルである事」は
>>  IをZ_mのイデアルとする。 もしI=0+mZならI=0modm∈{x∈Z;x≡0(mod m)}=(0)で

これはIが零イデアルである事を言いたかったのでした。I=(0)の場合ですね。

>> もしI⊃0+mZ,I≠0+mZならa:=∃min{x∈N;x+mZ∈I}でI=(a+mZ)と書ける

これはIが零イデアルではない場合ですね。

>> (∵もし∃bmodm∈I＼(a+mZ)…④なら∃q∈Z,∃r∈[1,a-1]…⑤;
：
> π^{-1}(I) が単項イデアルであることをどうして無視するのでしょう.
> π^{-1}(I) = (a) であれば, I = (π(a)) であることを示すのが
> 一番簡単です.

そうでした。これが簡単でしたね。どうもありがとうございます。

> そもそも, 上の議論は証明の形になっていません.
> 「 I = (a + mZ) と書ける」ことを示すのが目標ですね.
> その証明の中で「もし ∃b mod m ∈ I＼(a + mZ) なら」と
> 書く前に, a はどう取るのか書かなければ, 議論にならない
> ではありませんか.

すいません。以後,気をつけたいと老います。

>>>> 必要性は(自然な環準同型)f:Z→Z/IをZ∋∀z→f(z):=z+Iとすると, これは
>>>> 全射環準同型で 環同型写像∃g:{I;Kerf⊂I,IはRのイデアル} 　→{I;IはR/Jのイデアル}
：
> 「 R を可換環, *J ≠ R* を R のイデアルとする.
>   R/J が体 ⇔ { I ; J ⊂ I, I は R のイデアル} = *{ J, R }*.」
> であれば, 正しい命題です. (強調のために二箇所 * * で挟みました.)
> その命題を認めるなら, R/J が体であることと,
> J が極大イデアルであることが同値であるのは自明です.

そうですね。これは自明ですね。

>>>> 十分性はZ_m/Iが体なら{J;I⊂J,JはZ_mのイデアル}
>>>> ={Z_m,0}なので Iは極大イデアル(∵極大イデアルの定義)。
>>> これも混乱していますね. 多分分かっていないのでしょう.
>>>こういったところは基本ですから, きちんと復習して下さい.
>> これも何処が間違ってますでしょうか?
> 今度は I と J が入れ替わっていますが,「 I ≠ Z_m で,
> { J ; I ⊂ J, J は Z_m のイデアル } = { I, Z_m } 」
> とするのが正しい.

これもすいません。

> で, その命題の証明は理解されていますか.

はい、一応,
「(命題3)Rを可換な単位的環とする。Rが体⇔{A;AはRの部分環}={{0},R}
(証)
必要性はA≦RでA≠{0}とすると,0≠∃a∈Aでこの時,∃a^-1∈R(∵Rは体)で
1=aa^-1∈A(∵AはRのイデアル)。
よって,∀r∈Rに対して,r=r・1∈AでA=R.
十分性は0≠a∈Rを採ると,(a)=R(∵(a)≠(0)) ∋1(∵Rは単位的環)で
0≠∃c∈R;1=ca=ac(∵Rは可換)。
よって,c=a^-1でaは単元。よってRは体」

「(命題4)Rを可換な単位的環とする。
R≠IをRのイデアルとする。
R/Iが体⇔{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}
(証)
必要性は命題3から{A;A≦R/I}={{0+I},R/I}…①と言える。
よって{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}
(∵もし,I<J<RなるRのイデアルJが存在したとすると{0+I}<{j+I;j∈J}<R/Iとなり,
{A;A≦R/I}={{0+I},J+I,R/I}となり,①に反する)
十分性はもし,{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,I}なら{A;AはRの部分環}={{0},R}となる
(∵もし{0}<∃A<Rとすると,,,??)」

ここで先に進めません。
A<Iなら{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R},I<Aなら{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,A,I}
となり矛盾となると予想するのですがどうすれば
A<Iなら{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R},I<Aなら{J;I⊂J,JはRのイデアル}={R,A,I}が言えるのでしょうか?

>> すいません。これも何処が間違ってますでしょうか?
>>>> mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは合成数なら(a)は素&極大。
> これか間違っています. 不注意ですね. 訊き返す前に
> 確かめましょう.

すいません。有難うございます。m=10,a=8ならgcd(8,10)=2≠1で(8)⊂(4)⊂(2),(8)≠(4)≠(2)で(a)は非極大イ
デアル。
4・2=8∈(8)だが4∈(8)でなく,2∈(8)でもないので(a)は非素イデアル。
となるのですね。