ご回答大変有難うございます。

>> Lemma3.9が成り立つなら,m(E)=m((E＼∪_{i=1}^N B_j)∪∪_{i=1}^N B_j)
> (E＼∪_{i=1}^N B_j)∪(∪_{i=1}^N B_j) は E ではなく,
> E∪(∪_{i=1}^N B_j) になりますから,

そうでした。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/benzu_20090421.jpg
の場合などはE=(E＼∪_{i=1}^N B_j)∪(∪_{i=1}^N B_j)とはなりませんね。
Lemma3.9も有限個の開球B_1,B_2,…,B_NはEに覆われるとは言ってませんね。
可算個のB_1,B_2,…がEを覆うと言っているのですね。

> 上の等式は成立しません.
> E∪(∪_{i=1}^N B_j) ⊂ O を使うところがミソです.
>> よってm(E＼∪_{i=1}^N B_j)≦δとは書けないのでしょうか?
> 駄目です.

今,EはLebesgue可測で(∵Lemma3.9でEは有限測度を持つと言ってある事),0<∀δ∈Rに対し,
∃{B_1,B_2,…,B_N}⊂B(但し,BはVitali被覆,B_1,B_2,…,B_Nは互いに素);m(E)-δ≦Σ_{i=1}^N m
(B_i) …①.
そして,このδに対して,E⊂∃O∈T(但し,TはR^dの通常の位相);δ>m(O＼E)(∵EはLebesgue可測集合)
=m(O)-m(E)…②(∵E⊂Oである事から可算加法性).
m(E＼∪_{i=1}^N B_i)≦m(O＼∪_{i=1}^N B_i)(∵単調性) =m(O)-m(∪_{i=1}^N B_i)
(∵∪_{i=1}^N B_i)⊂Oある事から可算加法性)
=m(O)-Σ_{i=1}^N m(B_i)(∵B_1,B_2,…,B_Nは互いに素なので可算加法性)
≦m(E)+δ-(m(E)-δ)(∵①と②) =2δ
となるのですね。
E⊂OとなるようにO∈Tを採る時,m(O＼E)<δは分かりますが,更に∪_{i=1}^N B_i⊂Eなるように採れるという保障は何処から来るの
でしょうか?