ご回答大変有難うございます。

> これは Vitali被覆 B とは, 開球全体のなす集合族の
> 部分集合族であるということを書き表しているわけですね.

はい,さようです。

> わざわざ Lebesgue 外測度の cubes { Q_i } を用いた定義にまで
> 遡らなくても, 外測度の劣加法性から明らかですね.

あっそうでしたね。有難うございます。

> Q_i に
> 戻るなら, 各 B_j について取るのだから, Q_{i,j} とか
> しないと記述が不完全です.

すいません。失礼いたしました。

> この Corollary 3.10 では E は有限測度の可測集合ですね.
> Hint では Corollary 3.10 を使ってするべきことの指示も
> 詳しく与えられていますが, それには従わないのですね.

はっはい。

>> 0<∀ε∈Rに対し,Σ_{j=1}^N m(B_j)≦m_*(Q_i)+ε/2^iなる
>> Q_jの開球被覆{B_1,B_2,…,B_N}が採れるので
：
> Hint はそういう話の筋で示すことを求めていますが,
> Hint を鵜呑みにせずに, きちんと間を埋めないと,
> 証明したことにはなりません.

すいません。仕切りなおします。
Corollary3.10は「Eが可測集合なら0<∀ε,δ∈Rに対して,m(E＼∪_{j=1}^N B_j)<δでm(B_j)<εとなるEを覆
う開球B_1,B_2,…,B_Nが採れる」
という主張ですよね。

0<∀ε∈Rに対し,Σ_{j_i=1}^N_i m(B_{j_i})≦m_*(Q_i)+ε/2^iでm(B_{j_i})<δなるQ_iの開球被
覆{B_{1_i},B_{2_i},…,B_{N_i}}が採れ,
Σ_{j=1}^∞Σ_{j_i=1}^N_i m(B_{j_i})≦Σ_{i=1}^∞(m_*(Q_i)+ε/2^i)=Σ_{i=1}^∞(|
Q_i|+ε/2^i)(∵m_*の定義)
=Σ_{i=1}^∞|Q_i|+Σ_{i=1}^∞|ε/2^i=Σ_{i=1}^∞|Q_i|+ε
即ち,0<∀ε∈Rに対しΣ_{j=1}^∞ m(B_j)≦Σ_{i=1}^∞|Q_i|+ε…①でm(B_j)<δなる∪_{i=1}^∞ Q_j
の開球被覆{B_j}が採れる。
更に,Σ_{i=1}^∞|Q_i|≦m_*(E)+ε…②なる閉d次元立方体列{Q_i}も採れるから(∵m_*(E)の定義)
①,②から0<∀ε∈Rに対しΣ_{j=1}^∞ m(B_j)≦m_*(E)+2εなるEの開球被覆{B_j}が採れる。
従って,ε→0とするとinf{Σ_{j=1}^∞ m(B_j);E⊂∪_{j=1}^∞ B_j,B_jはd次元開球}≦m_*(E)
即ち, m_*(E)≧m_*^B(E)となったのですがやはりこれは勘違いですかね。


>Hint で与えられている手順を踏む必要があるでしょう.

そのほうがよさそうです。『Eを可測集合とするとm(O＼E)<ε'なるE⊂O∈T(:R^dの通常の位相)が採れる。
次にCorollary3.10からΣ_{j=1}^N m(B_j)≦m(E)+2ε'且つm(E＼∪_{j=1}^N B_j)≦3ε'なる
B_1,B_2,…,B_Nが採れる』
ここでCorollary3.10はm(E＼∪_{j=1}^N B_j)≦3ε'なるB_1,B_2,…,B_Nが採れるという主張で
Σ_{j=1}^N m(B_j)≦m(E)+2ε'という主張はしていないと思うのですが…。
勘違いしてますでしょうか?
あと,B_1,B_2,…,B_Nの直径については言及しなくて言いのでしょうか?
B_1,B_2,…,B_Nの各直径はばらばらなのでしょうか?
それと,Oはそのご登場しませんが何の役に立っているのでしょうか?

『最終的にE＼∪_{j=1}^N B_jを立方体の和集合で覆え。その測度の和は≦4ε'である。』
ええと,ここはE＼∪_{j=1}^N B_j⊂∪_{i=1}^∞ Q_iとすると,Σ_{i=1}^∞ |Q_i|<4ε'という事でしょうか?
4ε'は何処から来るのでしょうか?

『そして,これら立方体をそれら含む開球で置き換えよ』
E＼∪_{j=1}^N B_j⊂∪_{i=1}^∞ B_i (但し∪_{i=1}^∞ Q_i⊂∪_{i=1}^∞ B_i)と書き換えればいいの
でしょうか?

『一般のEに対して,Eが立方体の時,上を適用する事で始めよ』
の意味が分かりません。Eがd次元立方体の時,Eは可測集合だからCorollary3.10を適用して,
m(E＼∪_{j=1}^N B_j)≦3ε'なるB_1,B_2,…,B_Nが採れる。
それからどうすればいいのでしょうか?