ご回答大変ありがとうございます。

>  E を覆うわけではありません. E＼(∪_{j=1}^N B_j) は
> 一般に空集合ではありません.

そうでしたか。すっかりE⊂∪_{j=1}^N B_jの関係とばかり思い込んでおりました。

>  Corollary 3.10 は Lemma 3.9 における, E の Vitali 被覆
> から選んだ disjoint な B_i らで, Σ_{i=1}^N m(B_i) > m(E) - δ
> を満たすものは, 更に, m(E＼∪_{i=1}^N m(B_i)) < 2δ を
> 満たすように取れる, というのが主張です.

ありがとうございます。漸く趣旨が掴めました。
Lemma3.9が成り立つなら,m(E)=m((E＼∪_{i=1}^N B_j)∪∪_{i=1}^N B_j)
=m(E＼∪_{i=1}^N B_j)+m(∪_{i=1}^N B_j)
(∵E＼∪_{i=1}^N B_j)と∪_{i=1}^N B_jとは互いに素なので可算加法性)
∴ m(E＼∪_{i=1}^N B_j)=m(E)-m(∪_{i=1}^N B_j)
=m(E)-Σ_{i=1}^N m(B_i)(∵B_1,B_2,…,B_Nは互いに素なので可算加法性)
≦δ(∵Lemma3.9).よってm(E＼∪_{i=1}^N B_j)≦δとは書けないのでしょうか?
やっぱり≦2δになるのでしょうか?

> その証明を見ると, E ⊂ O を m(O＼E) < δ となるように取り,
>  B_i らは O に含まれるものから取るようになっていて, 実は,
：
> ですから, m^B_*(E) < m_*(E) + 2ε となり,
>  m^B_*(E) ≦ m_*(E) です. これが示すべきことでした.

詳細なご説明まことにありがとうございます。あとは納得できました。