ご回答大変ありがとうございます。

>> 一つ疑問なのですが f:V→Wという線形写像の基底[v_1,v_2,…,v_m]から基底[w_1,w_2,…,w_n]
：
>> の (a_ij)の事と言ってもいいのでしょうか。
> 駄目です.

そうでした。どうも失礼いたしました。

> 基底を与えるということは,
> ベクトル空間 V と 数ベクトル空間 K^m との同一視 ι_v を,
> ベクトル空間 W と 数ベクトル空間 K^n との同一視 ι_w を,
> 与えることです.

ありがとうございます。この事は知りませんでした。
ι_vとι_wは夫々V→K^m, W→K^nの線形写像なのですね。

> n×m 行列 A で定まる K^m から K^n への線形写像 ψ_A は
> 通常, x ∈ K^m に対して y = A x ∈ K^n を対応させます.
> ( x, y はタテベクトルとして扱います.) そのとき,
>          f
>      V ――→ W
>      ｜       ｜
> ι_v ｜       ｜ι_w
>      ↓       ↓
>     K^m ―→ K^n
>         ψ_A
> が可換な図式になるようにしておかないといけません.

すいません。"図式"というのは上記のような概念の理解を視覚的に捉えるための表記法の事で
その図式が"可換な"というのは何ういう意味なのでしょうか?
可換な図式を調べてみたのですが"可換な"とはどういう図式の事か分かりませんでした。

つまり,Vの任意の元Xに対してfを辿ってV→Wと写しても,
ι_w^-1○ψ_A○ι_vを辿ってV→Wと写しても
f(V)=ι_w^-1○ψ_A○ι_v(V)となる時,この図式は可換であるとか言ったりするのでしょうか?

>> これなら t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=(a_ij) t(w_1,w_2,…,w_n)と
>> そのまま行列と縦ベクトルとの積と いう形に書けて便利だと思うのですが,,,
>> どうしてf(v_j)=Σ_{i=1}a_ij w_i (但し,j=1,2,…,m)の(a_ij)が表現行列なら
>> t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=t(a_ij) t(w_1,w_2,…,w_n)と 書かなければなりませんよね。
> X ∈ V が X = (v_1 v_2 … v_m) x であるとき,

ここで{v_1 v_2 … v_m}はVの基底でxはx=t(x_1,x_2,…,x_m)はv_1,v_2,…,v_mの係数ベクトル
(つまり,X=Σ_{i=1}^m x_i v_iという関係)ですよね。

今,X=Σ_{i=1}^m v_i x_iの意味なさっているのですよね。
どうして(v_1 v_2 … v_m) xという風に右から係数を掛けれるのでしょうか?
(v_1 v_2 … v_m) xもtx t(v_1 v_2 … v_m)も1×1行列ですが係数とベクトルは一般には可換ではない
(v_i x_i=x_i v_iは成り立たない)ですよね。
Vは左加群であって右加群ではありませんよね。

> f(X) = Y = (w_1 w_2 … w_n) y として,
>  f(X)
>  = (f(v_1) f(v_2) … f(v_m)) x
>  = (w_1 w_2 … w_n) A x
>  = (w_1 w_2 … w_n) y
> であれば, y = A x とつじつまが合います.
> # ι_v(X) = x であり, ι_w(Y) = y です.

X=Σ_{i=1}^m v_i x_iなら
f(X)=f(Σ_{i=1}^m v_i x_i)=Σ_{i=1}^m f(v_i) x_i (∵fは線形写像)
= (f(v_1) f(v_2) … f(v_m)) x
=(Σ_{i=1}^n w_1 a_{i1} Σ_{i=1}^n w_2 a_{i2} … Σ_{i=1}^n w_1 a_{in}) x
=(w_1,w_2,…,w_n)A x
=(w_1,w_2,…,w_n) y

と確かになりますね。