いつも大変お世話になっております。

Φをv:={v_1,v_2,…,v_n}からv':={v'_1,v'_2,…,v'_n}への基底変換写像。
ψをw:={w_1,w_2,…,w_n}からw':={w'_1,w'_2,…,w'_n}への基底変換写像
は実際には恒等写像になるそうなのですが何故でしょうか?

恒等写像なら∀v∈Vに対してΦ(v)=vと書け,
Φの表現行列を(φ_ij)とするとv'_i=Σ_{i=1}^n φ_ij v_iの(φ_ij)と書けて(∵基底変換の表現行列の定義),
t(v'_1,v'_2,…,v'_n)=(φ_ij)・t(v_1,v_2,…,v_n) (tは転置を表す)
からどうすれば恒等写像である事が分かりますでしょうか?

v=Σ_{i=1}^n c_i v_i (但しc_iはスカラー)と表せたとすると
Φ(v)=Φ(Σ_{i=1}^n c_i v_i)=Σ_{i=1}^n c_i Φ(v_i)=Σ_{j=1}^n c_j (Σ_{i=1}
^n φ_ij v_i)
でこれからどうすれば
=vになるのでしょうか?

吉田京子