工繊大の塚本と申します.

In article <9b3e59ff-262e-42af-885f-0e9222f4ec5b@y28g2000prd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Φをv:={v_1,v_2,…,v_n}からv':={v'_1,v'_2,…,v'_n}への基底変換写像。
> ψをw:={w_1,w_2,…,w_n}からw':={w'_1,w'_2,…,w'_n}への基底変換写像
> は実際には恒等写像になるそうなのですが何故でしょうか?

基底変換は「写像」ではないでしょう.

基底変換(を表す)行列であれば, 基底 { v'_1, v'_2, ... , v'_n } を
基底 { v_1, v_2, ... , v_n } で表す場合であれば,

  v'_j = Σ_{i=1}^n p_{ij} v_i  (j = 1, 2, ... , n)

でその成分が決まる行列 P = (p_{ij}) であり,
「正則行列」であることが分かります.

勘違いか読み違いではありませんか.

因みに,

> Φの表現行列を(φ_ij)とするとv'_i=Σ_{i=1}^n φ_ij v_iの(φ_ij)と書けて
> (∵基底変換の表現行列の定義),
> t(v'_1,v'_2,…,v'_n)=(φ_ij)・t(v_1,v_2,…,v_n) (tは転置を表す)

普通は,

  (v'_1 v'_2 … v'_n) = (v_1 v_2 … v_n) P

と表示するものです.
転置にするなら, P も転置にしないと正しくありません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp