ご回答大変ありがとうございます。

>> Φをv:={v_1,v_2,…,v_n}からv':={v'_1,v'_2,…,v'_n}への基底変換写像。
>> ψをw:={w_1,w_2,…,w_n}からw':={w'_1,w'_2,…,w'_n}への基底変換写像 は
>> 実際には恒等写像になるそうなのですが何故でしょうか?
> 基底変換は「写像」ではないでしょう.

なるほど。単にf:V→Wという線形写像に対して,
基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_n]に対するfの表現行列Aと
基底[v_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_n]に対するfの表現行列A'とがあるだけなのですね。

基底変換に線形写像という概念は無いのですね。

> 基底変換(を表す)行列であれば, 基底 { v'_1, v'_2, ... , v'_n } を
> 基底 { v_1, v_2, ... , v_n } で表す場合であれば,
>  v'_j = Σ_{i=1}^n p_{ij} v_i  (j = 1, 2, ... , n)
> でその成分が決まる行列 P = (p_{ij}) であり,
> 「正則行列」であることが分かります.
> 勘違いか読み違いではありませんか.

ちょっとチェックしてみます。

v'_j = Σ_{i=1}^n p_{ij} v_i  (j = 1, 2, ... , n)なる正則行列(p_ij)が存在するという事だけ
分かるのですね。

> 因みに,
>> Φの表現行列を(φ_ij)とするとv'_i=Σ_{i=1}^n φ_ij v_iの(φ_ij)と書けて
>> (∵基底変換の表現行列の定義), t(v'_1,v'_2,…,v'_n)=(φ_ij)・t(v_1,v_2,…,v_n)
>>  (tは転置を表す)
> 普通は,
>  (v'_1 v'_2 … v'_n) = (v_1 v_2 … v_n) P
> と表示するものです.
> 転置にするなら, P も転置にしないと正しくありません.

えーと,v'_j=p_{1j} v_1+p_{2j} v_2+…+p_{nj} v_nなので基底変換の行列ですから
行列と横ベクトルとの積で表そうとすると
 (v'_1 v'_2 … v'_n) = (v_1 v_2 … v_n) P
となりますね。または
t(v'_1 v'_2 … v'_n) = tP t(v_1 v_2 … v_n)
とも表せますね。

一つ疑問なのですが
f:V→Wという線形写像の基底[v_1,v_2,…,v_m]から基底[w_1,w_2,…,w_n]に対する表現行列は
f(v_j)=Σ_{i=1}a_ij w_i (但し,j=1,2,…,m)と書いた時の(a_ij)の事であるとなっているのですが
f(v_i)=Σ_{j=1}a_ij w_j (但し,i=1,2,…,m)と書いた時の(a_ij)の事と言ってもいいのでしょうか。
これなら t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=(a_ij) t(w_1,w_2,…,w_n)とそのまま行列と縦ベクトルとの積と
いう形に書けて便利だと思うのですが,,,
どうしてf(v_j)=Σ_{i=1}a_ij w_i (但し,j=1,2,…,m)の(a_ij)が表現行列なら
t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=t(a_ij) t(w_1,w_2,…,w_n)と書かなければなりませんよね。