工繊大の塚本です.

In article <k1dlth$91u$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 閉曲線で囲まれた内側の開領域をIsdで表しておりました。

普通そういう記号は使いません.

> In article <120823202153.M0816151@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 普通, 内部は interior です.
> 
> 内核ですね。存じております。

普通の記号を使わないなら, 通じないことを覚悟して下さい.

> その時,そのような関数列の無限級数列が一様収束すると
> 主張しているのですが。勘違いしてますでしょうか?

その時というのが, 関数列が領域 D で広義一様収束している時,
であるなら, D の有界閉集合の上では一様収束すると主張して
良いわけです. 誤解がありますか.

> 因みに
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_93__00.jpg
> という命題は正しいでしょうか?

そんな命題が正しいわけがないでしょう.
 f_n が C の上だけで正則というのでは,
 C の内部では f_n の値はでたらめに決められます.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__02.jpg

普通, べき級数は \sum_{n=0}^\infty a_n (y - x)^n とするもの
でしょう.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__03.jpg
> とお蔭様で上手くいきました。

記号は概ね意味不明ですが, まあ良いでしょう.

> > 言えるのは「 C 上で正則」ではなく, 「 C の内部で正則」です.
> 
> それでは
> 「一般に, C 上の連続関数 g(\zeta) について,
> C の内部の点 z に対して \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta を対応させる
>  関数は C の内部での正則関数です.」
> が使えないではありませんか。

使えますよ.

> 今,g(ζ)が
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop195__02.jpg
> の末行のΣ_{n=1}^∞f_n(z)に相当しているのですが。
> だらかΣ_{n=1}^∞f_n(z)がC上で連続である必要があるのです。

正則関数は連続関数で, 連続関数の一様収束極限は連続関数です.

> > 「複素数平面の領域 D 上で f_n(z) が正則で,
> >   D 上で \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が広義一様収束している時,
> >   D の各点 z で \sum_{n=1}^\infty f_n(z) は正則である.」
> > が正しい.
> 
> え゛っ!?
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__00.jpg
> は間違いで

 E に条件がついていない点で間違いでしょう.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__01.jpg
> が正しい題意なのですね。 

それなら間違ってはいません. 普通は最初に D が領域
(連結な開集合)という条件をつけておくものです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp