ご回答誠に有難うございます。

>> 失礼致しました。inside(内部)の略のつもりでした。

閉曲線で囲まれた内側の開領域をIsdで表しておりました。

> 普通, 内部は interior です.

内核ですね。存じております。

>> つまり,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__00.jpg
>> という命題があるのですね。すっすいません。
>> これはどうやって示せばいいのでしょうか?
> その領域のどの有界閉部分集合の上でも一様収束するとき,
> その領域で広義一様収束するというのです. だから,
> 言葉の定義から当たり前です.

その時,そのような関数列の無限級数列が一様収束すると主張しているのですが。勘違いしてますでしょうか?

因みに
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_93__00.jpg
という命題は正しいでしょうか?

>>> C の内部の点 z について 1/(\zeta - z) は有界ですから,
>> 今,ζ∈IsdCでz∈Cですから分母は0にはなりませんが
>> zは幾らでもζに近づけるので1/(ζ-z)=∞となってしまうのではないでしょうか?
> z は幾らでも C に近くとる場合がありますが,
> 一度取れば固定して考えますから, 1/(\zeta - z) (\zeta \in C)
> は有界です. それがあれば,

納得です。

>>> \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta)/(\zeta - z) も一様収束です.
> C の内部の各 z について,
>  \sum_{n=1}^\infty f_n(z)
>   (= \sum_{n=1}^\infty 1/(2 \pi i) \int_C f_n(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta)
>    = 1/(2 \pi i) \int_C (\sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta))/(\zeta - z) d\zeta
> という積分と無限和の順序交換は許されます.

一様収束だから項別積分可能なのですね。

>> 取り敢えず,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_95__00.jpg
>> でいいのですね。
> 当たり前です.

了解です。

>>> \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) は C 上の連続関数で,
>>> 一般に, C 上の連続関数 g(\zeta) について,
>>> C の内部の点 z に対して \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta を対応させる
>>> 関数は C の内部での正則関数です.
>> これは下記のProp194.97の事ですよね。
>> 証明はどのように対処したらいいのでしょうか?
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__00.jpg
> g(\zeta) = \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) としていることは
> 分かっていますか.

はい、それは心得ております。

> z_0 と C との距離を R とするとき,
> 0 < r < R となる任意の実数 r について,
> |z - z_0| \leq r であれば,
> |(z - z_0)/(\zeta - z_0)| \leq r/R < 1 なので,
：
> となり, \sum_{n=1}^\infty f_n(z) は C の内部で *正則* です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__02.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__03.jpg
とお蔭様で上手くいきました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__01.jpg
>> と訂正致しました。
> 訂正に意味がありません. \phi(z) は *正則* であることが肝心です.

了解です。

>> そして
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop195__01.jpg
>> となり,Σ_{n=1}^∞f_n(z)がC上で正則である事が言えれば
>> Prop195はお仕舞いなのですが
>> どうすればΣ_{n=1}^∞f_n(z)がC上で正則である事が言えるのでしょうか?
> 言えるのは「 C 上で正則」ではなく, 「 C の内部で正則」です.

それでは
「一般に, C 上の連続関数 g(\zeta) について,
C の内部の点 z に対して \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta を対応させる
 関数は C の内部での正則関数です.」
が使えないではありませんか。

今,g(ζ)が
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop195__02.jpg
の末行のΣ_{n=1}^∞f_n(z)に相当しているのですが。
だらかΣ_{n=1}^∞f_n(z)がC上で連続である必要があるのです。

> 最初の Proposition も

えっこれはどの命題の事でしょうか?

> 「複素数平面の領域 D 上で f_n(z) が正則で,
>   D 上で \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が広義一様収束している時,
>   D の各点 z で \sum_{n=1}^\infty f_n(z) は正則である.」
> が正しい.

え゛っ!?
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__00.jpg
は間違いで
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__01.jpg
が正しい題意なのですね。