工繊大の塚本です.

In article <k0hls4$utm$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 失礼致しました。inside(内部)の略のつもりでした。

普通, 内部は interior です.

> つまり,
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_9__00.jpg
> という命題があるのですね。すっすいません。
> これはどうやって示せばいいのでしょうか?

その領域のどの有界閉部分集合の上でも一様収束するとき,
その領域で広義一様収束するというのです. だから,
言葉の定義から当たり前です.

> In article <110703230722.M0128837@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > C の内部の点 z について 1/(\zeta - z) は有界ですから,
> 
> 今,ζ∈IsdCでz∈Cですから分母は0にはなりませんが
> zは幾らでもζに近づけるので1/(ζ-z)=∞となってしまうのではないでしょうか?

 z は幾らでも C に近くとる場合がありますが,
一度取れば固定して考えますから, 1/(\zeta - z) (\zeta \in C)
は有界です. それがあれば,

> > \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta)/(\zeta - z) も一様収束です.

 C の内部の各 z について,

  \sum_{n=1}^\infty f_n(z)
   (= \sum_{n=1}^\infty 1/(2 \pi i) \int_C f_n(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta)
    = 1/(2 \pi i) \int_C (\sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta))/(\zeta - z) d\zeta

という積分と無限和の順序交換は許されます.
 
> 取り敢えず,
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_95__00.jpg
> でいいのですね。

当たり前です.

> > \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) は C 上の連続関数で,
> > 一般に, C 上の連続関数 g(\zeta) について,
> > C の内部の点 z に対して \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta を対応させる
> > 関数は C の内部での正則関数です.
> 
> これは下記のProp194.97の事ですよね。
> 証明はどのように対処したらいいのでしょうか?
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop194_97__00.jpg

 g(\zeta) = \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) としていることは
分かっていますか.

 z_0 と C との距離を R とするとき,
 0 < r < R となる任意の実数 r について,
 |z - z_0| \leq r であれば,
 |(z - z_0)/(\zeta - z_0)| \leq r/R < 1 なので,
 \sum_{n=0}^\infty ((z - z_0)/(\zeta - z_0))^n は一様収束して,
 1/(1 - (z - z_0)/(\zeta - z_0)) に一致することを用いれば,

 \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta
 = \int_C g(\zeta)/((\zeta - z_0) - (z - z_0)) d\zeta
 = \int_C g(\zeta)/((\zeta - z_0)(1 - (z - z_0)/(\zeta - z_0))) d\zeta
 = \int_C g(\zeta)/(\zeta-z_0) \sum_{n=0}^\infty ((z-z_0)/(\zeta-z_0))^n d\zeta
 = \sum_{n=0} (\int_C g(\zeta)/(\zeta-z_0)^{n+1} d\zeta) (z - z_0)^n

となり,

 G(z) = \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta

は, 収束するベキ級数

 \sum_{n=0} (\int_C g(\zeta)/(\zeta-z_0)^{n+1} d\zeta) (z-z_0)^n

に一致していることが分かります. このベキ級数の収束半径は
 R 以上であるので, |z - z_0| < R において G(z) は正則です.
特に G(z) は z = z_0 で正則です.
 z_0 は C の内部の任意の点に取れるので,
 G(z) は C の内部で正則です.
 
> あと, Prop195の最後にて1/(2πi)∫_C Σ_{n=1}^∞f_n(z)/(z-ζ) dzが
> IsdCにて正則である事を言う為にProp194.97を利用するのだと思いますが
> ここで関数φはどのように見立てればいいのでしょうか?

 \phi は連続ではなく, 正則ですよ.

上記の通り, g(\zeta) = \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) とすれば,

  \sum_{n=1}^\infty f_n(z)
   = (1/(2 \pi i)) \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta

となり, \sum_{n=1}^\infty f_n(z) は C の内部で *正則* です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp