工繊大の塚本です.

In article <iuncla$pvn$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 題意を訂正いたしました。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop195__00.jpg
> これで正しい命題になりましたでしょうか?

 Isd 等という記号は見たこともありません.

> > Prop. の [ア] を示すには, Cauchy の積分公式を使います.
> > \sum_{n=1}^\infty f_n(z)
> >  = \sum_{n=1}^\infty (1/2 \pi i) \int_C f_n(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta
> 
> ここの等号は?

ん? f_n(z) = 1/(2 \pi i) \int_C f_n(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta は
 Cauchy の積分公式で, その両辺の \sum_{n=1}^\infty を取っただけです.

> あと,ここでのCは単純閉曲線ですよね。

はい.
 
> > において, \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が C 上で一様収束していれば,
> > = (1/2 \pi i) \int_C (\sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta))/(\zeta - z) d\zeta
> > となりますが,
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop195__00.jpg
> となったのですが
> ∫_cΣ_{n=1}^∞f_n(ζ)/(ζ-z) dζが曲線C上で一様収束する理由は何なのでしょうか?

単純閉曲線 C は有界な閉集合ですから,
 \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta)  (\zeta \in C) が一様収束していることは
仮定されています. C の内部の点 z について 1/(\zeta - z) は有界ですから,
 \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta)/(\zeta - z) も一様収束です.

> > この積分は C の内部での正則関数を表します.
> 
> すみません。 どうして正則関数と分かるのでしょうか? 

 \sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta) は C 上の連続関数で,
一般に, C 上の連続関数 g(\zeta) について,
 C の内部の点 z に対して \int_C g(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta を対応させる
関数は C の内部での正則関数です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp