工繊大の塚本と申します.

In article <f57f0899-5668-44d0-bb42-0cd914ff7064@u24g2000prn.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Cを複素数体とする。
> 
> [Propア]　『f_n∈Map(A,C)(但し,A⊂C),Σ_{n=1}^∞f_n(z)に於いて,
> f_n(z)が正則関数且つ広義一様収束すればΣ_{n=1}^∞f_n(z)も正則関数となる』
> 
> [Propイ]　『f_n∈Map(A,C)(但し,A⊂C),Σ_{n=1}^∞df_n(z)/dzが{s∈C;Re(s)>1}で
> 広義一様収束するならΣ_{n=1}^∞f_n(z)も正則関数となる』

 Prop. の [イ] は誤りです. f_n(z) = 1 (定数関数) とすれば,
 (d f_n / d z) = 0 ですから, \sum_{n=1}^\infty (d f_n / d z)(z) は
一様収束しますが, \sum_{n=1}^\infty f_n(z) は収束しません.

ちゃんと調べれば, 正しい言明も, その証明も見つかるでしょう.

 Prop. の [ア] を示すには, Cauchy の積分公式を使います.

 \sum_{n=1}^\infty f_n(z)
  = \sum_{n=1}^\infty (1/2 \pi i) \int_C f_n(\zeta)/(\zeta - z) d\zeta

において, \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が C 上で一様収束していれば,

 = (1/2 \pi i) \int_C (\sum_{n=1}^\infty f_n(\zeta))/(\zeta - z) d\zeta

となりますが, この積分は C の内部での正則関数を表します.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp