Σ_{n=1}^∞f_n(z)に於いて,f_n(z)が正則関数且つ広義一様収束すればΣ_{n=1}^∞f_n(z)も正則関数

いつもお世話になっております。
Cを複素数体とする。

[Propア]　『f_n∈Map(A,C)(但し,A⊂C),Σ_{n=1}^∞f_n(z)に於いて,f_n(z)が正則関数且つ広義一様収束すれ
ばΣ_{n=1}^∞f_n(z)も正則関数となる』

[Propイ]　『f_n∈Map(A,C)(但し,A⊂C),Σ_{n=1}^∞df_n(z)/dzが{s∈C;Re(s)>1}で広義一様収束す
るならΣ_{n=1}^∞f_n(z)も正則関数となる』

の証明を試みていますがどのような手順で証明していけばいいでしょうか?

吉田京子