工繊大の塚本です.

In article <j5dnqk$dlj$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__15.jpg
> で大丈夫でしょうか?

どうして一度に修正が効かないのでしょうか.
 k^4 ではおかしい, k^2 だ, と既に述べました.

> In article <110902054608.M0126932@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > きちんと Weierstrass の優級数判定法を用いるなら,
> > |s| < R という領域において,
> > M = R^2 \exp(2R) とおけば,
> > |-1 + (1 + s/k)\exp(-s/k)| \leq M/k^2 となるから
> > \sum_{k=1}^\infty (-1 + (1 + s/k)\exp(-s/k)) は一様収束し,
> > \prod_{k=1}^\infty ((1 + s/k)\exp(-s/k)) は収束して正則関数を表す,
> > と書くものでしょう.
> 
> 有難うございます。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_925__01.jpg
> でいいのですね。

こちらでは k^2 に従っているのに, 上で k^4 の儘なのは,
どうなっているのでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__15.jpg
> なら大丈夫でしょうか?

> 仰る通りです。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__15.jpg
> でいいんですよね。

だから駄目です.

> > Laurent 級数展開を導いた議論をもう一度確認して下さい.
> > 0 < r_2 < |z - z_0| < r_1 で正則な関数に対する
> > Laurent 級数展開の非負ベキの部分の級数の収束半径が
> > r_1 より小さくないことが分かる筈です.
> 
> すいません。改めて見るとこれは各項について交換法則や結合法則を
> 使用しているわけではなく単に(z-z_0)^-nで括り出しているだけですから
> 収束する無限級数の性質から直ちに言えますね。

括るところはそれだけのことですが,
そもそも, 貴方は, Laurent 級数展開が収束することの
理由がちゃんと理解できているのでしょうか.

> 正則な関数も有理型関数に含めるのですから
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_meromorphic__04.jpg
> でいいのですね。

不自然な記述ですが, まあ良いでしょう.

> えっ。f^-1(∞)の元は孤立特異点になるではありませんか?
> どのような反例があるのでしょうか?

真性特異点での f の値を \infty に決めたような関数は
有理形関数であるとは言えません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_extended_complex_plane__01.jpg
> と前半部は訂正いたしました。
> どのようにReimann surfaceという言葉を使用すればいいのでしょうか?

使わなければ良い. "is called (a) Riemann surface." を止めて,
 "is a (closed, smooth) surface." で十分.

> 後半に就いては某書の
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_extended_complex_plane__02.jpg
> という箇所を参考にしたのですが。

これは P^1(C) = C \cup { \infty } にどのように
複素多様体としての構造が入るかの説明です.
 f(C) = (C \setminus { 0 }) \cup { \infty } = P^1(C) \setminus { 0 }
ですから, P^1(C) 自体の定義ではない.
 f, というか f の逆写像, は \infty のまわりでの座標を定義するものです.

 R^3 内の普通の球面と C \cup { \infty } の間には,

> > 全単射があるのに(どういう意味でかは別として)同一視できませんか.
> 
> そういわれれば出来ますが,
> では何故,CとC∪{∞}には全単射が存在するのに同一視できないのでしょうか?

 C と C \cup { \infty } の間の全単射は作っていないでしょう.

# 無論, 集合としては, 濃度が一致するので, 全単射は作れますが,
# それは「複素多様体」として考える際には役に立たない.

> 取り敢えず再訂正いたしました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_27__15.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_27__16.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_27__17.jpg
> これでもいいでしょうか?

収束半径が \lim_{n \to \infty} |a_n|/|a_{n+1}| で
与えられるとは限らないこと, は既に注意しました.
 f(z) = (z - z_0)^{-n} \phi(z), \phi(z_0) \neq 0
となる正則関数 \phi(z) が存在するとき,
 (1/f)(z) = (z - z_0)^n/\phi(z) が z = z_0 の周りで
正則で, z = z_0 を n 位の零点として持つことは
「明らか」ですが, それは
 (1/f)' = ((z - z_0)^n/\phi(z))' に商の微分法の公式を
当て嵌めた計算をして示されることではありません.
 
 Re(s) > 0 で定義された正則関数 \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du が

> > だから, 先ず, Weierstrass の乗積表示の逆数と一致することを示した後に,

 Weierstrass の乗積表示が複素数平面全体での正則関数を表すことから
上の Re(s) > 0 での正則関数の複素数平面全体での有理形関数への
解析接続 \Gamma(s) の存在を示すという立場では,

> > Weierstrass の乗積表示の無限乗積の零点が非正の整数の全体であることを
> > 示して, 初めて分かることですから, 議論の順番が違います.
> 
> つまり,s∈C\setminus{0,-1,-2,…}でΓ(s)∈C\setminus{0}である事をしてしてから

だから, \Gamma(s) がそういうものとして定義されることは
後から分かるものだと, 申し上げているのです.

> f(s):=1/Γ(s) (if s∈C\setminus{0,-1,-2,…}), 0 (if s∈{0,-1,-2,…)
> と定義すると
> f(s)=sexp(slim_{n→∞}(Σ_{k=1}^n 1/k-lnn))Π_{k=1}^∞((1+s/k)exp(-s/k))
> が成立するという順序でいいのですね。

だから, 順序がおかしい.

> > 例えば, 一番最後の page の (proof) で
> > "Now that \lim_{n \to \infty n^s n!/(\prod_{k=0}^n(s + k)) \neq 0
> > obviously"
> > と書いてあるのは, 意味不明で, ちっとも obviously ではありません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__07.jpg
> とすれば良かったのですね。

全体像が明らかでないので, ちっとも良くありません.

> > \Gamma(s) というのは Re(s) > 0 で \int_0^\infty \exp(-x) x^{s-1} dx
> > によって定義される正則関数を全複素数平面上の有理形関数として
> > 解析接続したものを表します. それははっきりしたものです.
> 
> その一意的に存在する解析接続関数とは具体的に何かと言われれば
> lim_{n→∞} n!n^1/Π_{k=0}^n(s+k)と答えるに過ぎないのですね。

ですから, その式は何も表しません.
 Weierstrass の乗積表示の逆数とすれば, 未だまし.

> 何故ならlim_{n→∞} n!n^1/Π_{k=0}^n(s+k)は∫_0^∞ exp(-x) x^{s-1} dxの
> 解析接続になっている事以外,

単に, \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du と
 Weierstrass の乗積表示とを繋いでいるだけ.

> 取り扱いにくく,性質も良く知られていない不可解な式だから
> 現代では無益な式なのですよね
> (将来は色々な性質が解明されて凄く有益な式になるのかもしれませんが)。

分かったら使うのを止めなさい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__16.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__17.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__19.jpg
> ならいいのですね。

 k^2 が k^4 になっているので駄目.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__13.jpg
> という具合で宜しいでしょうか?

 Weierstrass の乗積表示についての命題として書き,
 k^4 でないように書き換えれば, 良い.

> それで
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__13.jpg
> としてみたのですが
> これでもRによって|s|<Rに対するdominant sequenceが決まってしまって,
> 全複素平面Cに対するdominant sequenceは一向に決まらないのですが。。

当然です. 全複素数平面上で一様収束するわけではない.
広義一様収束だと, 何度も言っています.

> 幾らRを任意にとってそのつどdominant sequenceを決めても
> 全複素平面Cについてのdominant sequenceが作れないのでは
> 全複素平面でΠ_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)holomorhpicとは到底言えませんよね。
> 一体どうすれば。。

全複素数平面のどの点 z_0 を取っても,
 |z_0| < R となる実数 R を取れば,
 z_0 を含む領域 { z \in C | |z| < R } において正則ですから, 
 1/\Gamma(z) は z_0 で正則です.
全複素数平面のどの点でも正則ですから,
 1/\Gamma(z) は全複素数平面で正則です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph_gamma_function__00.jpg
> となるのでしたね。横面は複素平面で縦面も複素平面なのですね。

複素関数 \Gamma(z) のグラフを本当に書くには,
４次元空間内に書かなければなりません.
その図はやはり偽物です.
 |\Gamma(z)| のグラフでしょうね.

> ふーむ。 そしてlim_{n→∞}n^s n!/(Π_{k=0}^n (s+k))は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_95__16.jpg
> という性質を持つ事がわかり,

その性質は \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) を
いくら眺めていても分からないものです.

> ∫_0^∞exp(-x) x^{s-1} dsの解析接続になっていると発見できるのですよね。

解析接続と分かるのは Weierstrass の乗積表示の方です.

> そして更に
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__04.jpg
> という性質も分かる。

分かりませんよ.

> > この段階では Re(s) > 0 で収束することしか
> > 分かっていません.
> 
> そうですが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__19.jpg
> とその後,分かりましたよね。

分かるのは Weierstrass の乗積表示の方.

> > さて, 任意の複素数 s について,
> > 無限乗積 s \exp(\gamma s) \prod_{k=1}^\infty (1 + s/k)\exp(-s/k) が
> > 収束することを見た後で,
> > \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) の逆数の極限が
> > 任意の複素数 s でその無限乗積と一致することが示されて,
> 
> この時点ではs=0,-1,-2,…では一致しませんよね。

無限乗積 s \exp(\gamma s) \prod_{k=1}^\infty (1 + s/k)\exp(-s/k) は
全ての複素数 s について定義されていて,
 \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) の逆数の極限と
一致します.

> なので辻褄を合わせる為に
> (1/Γ)(s):=0 (if s=0,-1,-2,…)と"定義"するのではありませんか

いいえ.

> (くどいようですが(1/Γ(s)=0は飽く迄定義ですよね。
> 定義じゃないなら1/Γ(s)=0とどうしてなるのか証明できる筈)。

 1/\Gamma(s) は解析接続として定義されているので,
 s = 0, -1, -2, \dots で 1/\Gamma(s) = 0 は
 Weierstrass の乗積表示からの帰結です.

> それでもってWeierstrass product of Viewは全複素平面上でholomorphicで
> C\setminus{0,-1,-2,…}では1/Γ(s)と一致するという事が判明して
> めでたしめでたしとなったのではないですか。

だから, 順番が違う.

> > 初めて, 無限乗積の零点を除く複素数 s で収束することが分かります.
> 
> このような議論の順番だと
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__19.jpg
> という議論はインチキなのでしょうか?

そう言っているではありませんか.
だから, 変な表示は早く捨てなさい.

> もしかして
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__13.jpg
> を示すのに
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__05.jpg
> のsexp(sγ)Π_{k=1}^∞((1+s/k)exp(-s/k))を用いるのはインチキなのでしょうか?

だから, \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) について
何かを示そうとしているのではありません.
 Re(s) > 0 で \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du で定義される
正則関数の解析接続についての性質について議論しているのです.

> すいません。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__16.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__17.jpg

この二つは k^4 が間違いであることを除き,
 s = -1, -2, \dots を特別扱いする理由がないことを除けば,
それほど問題はない.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__16.jpg
> の何処の時点でNGが始まっておりますでしょうか?

 \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) について
の話として書いているところ.

> > \Gamma 関数は全複素数平面上の有理形関数ですから,
> > 極のところでは 1/\Gamma(s) はちゃんと正則関数になります.
> > 単に値 \infty の逆数を考えているのではなく,
> > 有理形関数の逆数を考えているのが大事なところです.
> 
> なぬ。これは大変興味深いお話です。早速
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_8__00.jpg
> としてみたのですがa-aが分母に来てしまいました。

何を言いたいのか分かりませんが,
普通微分の計算というのは不定形の極限の計算です.

> どのようにしてz=aでの1/f(z)の微分係数を求めたらいいのでしょうか?

 f(z) = (z - z_0)^{-n} \phi(z), \phi(z) 正則, \phi(z_0) \neq 0 なら
 (1/f)(z) = (z - z_0)^n/\phi(z) は z = z_0 で正則,
というだけです. 微分係数を求めたければ, 商の微分法を使えば良い.

> > 全複素数平面上で意味を持つ
> > s \exp(\gamma s) \prod_{k=1}^\infty((1 + s/k)\exp(-s/k))
> > が全複素数平面上で正則な 1/\Gamma(s) の無限乗積表示です.
> 
> つまり,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__07.jpg
> の証明をWeierstrass product of Viewが誕生するのですよね。

何度も言うように, \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k)) は
早く捨ててしまいなさい.

> 尚,Γ(s)の値域はΓ(C\setminus{0,-1,-2,…})∪{∞}ですよね。

意味不明です. \Gamma(s) が 0 を値として取らないことは
重要ですが.

> > 結果はそれで良いですが, 証明は無内容ですね.
> 
> えっ。何処からがインチキしておりますでしょうか?

内容がないよう.

> つまり,∃im_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|∈R〓{0}という保証がある時のみ
> r=1/lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|という公式が使用できるのですね。

はい.
 
 \Gamma(s) の s = 0, -1, -2, \dots での留数については,

> なので
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_97__03.jpg
> では

から計算すれば良いのですが,

> Res_{s=0}Γ(s)=Res_{s=-1}Γ(s)=Res_{s=-2}Γ(s)=…=1となるのですね。

その計算は間違っています. Res(\Gamma(s), -n) = (-1)^n/n!.

> もとい,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__03.jpg
> と再訂正しました。

「定義」と「表示」について散々説明させておいて,
結局直さないのですね.

> > それは間違いですね. s = 0, -1, -2, \dots で
> > L(s, \chi) = 0 とはなりません.
> 
> えっ?
> L(0,χ)=Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^0・1/Γ(0)(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!(0+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{0-1}/(a-exp(-u))du)
> =Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^0・0(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!(0+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)0^{s-1}/(a-exp(-u))du)
> (∵1/Γ(0)=0)  =0
> L(-1,χ)=Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^{-1}・1/Γ(-1)(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!((-1)+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{(-1)-1}/(a-exp(-u))du)
> =L(-1,χ)=Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^{-1}・0(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!((-1)+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{(-1)-1}/(a-exp(-u))du)
> (∵1/Γ(-1)=0)  =0
> L(-2,χ)=Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^{-2}・1/Γ(-2)(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!((-2)+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{(-2)-1}/(a-exp(-u))du)  =0
> 鐚^Z
> という具合に0になるではありませんか。

 1/\Gamma(s) は s = 0, -1, -2, \dots において零点を持ちますが,
 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1))
は s = 1, 0, -1, -2, \dots において極を持ちますから,
単純に 0 \times なんとか = 0 というわけには行きません.
そこは 0 \times \infty の不定形なのです.
不定形の極限は, \Gamma(s) の留数で
 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1)) の留数を
割ったものになります.

> > だから定義は簡単なものでないと意味がありません.
> 
> これも再訂正
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__04.jpg
> これでもだいぶ簡単になったと思うのですが、、

定義は「 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s で定義される正則関数の
解析接続」です.

> χ∈LC(N),Re(s)>1でΣ_{n=0}^∞χ(n)/n^sを全複素平面へ解析接続したものをL(s,χ)とする
> という定義だと
> じゃぁ具体的にどんな関数と問われると思いますので

それは後になって分かれば良い.

> 最初に
> L(s,χ):=Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^s・1/Γ(s)(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(a-exp(-u))du)
> と定義しておいて,
> 次のような性質を持つ
> Re(s)>1の時はΣ_{n=0}^∞χ(n)/n^sとシンプルに書ける。
> χ(Z)≠{0,1}の時はs=1で正則。
> χ(Z)≠{1}の時はs=1で正則でRe(s)>0ででもΣ_{n=0}^∞χ(n)/n^sとシンプルに書ける。 
> 
> 、、、という具合に組み立てていったら分かり易いかもと思いました
> (これなら解析接続の概念を導入せずともL(s,χ)の定義が記述可能)。

それでは \zeta 関数やらとの関係性が全く分からないことになります.

> > そんな級数と積分との和のようなものから出発して
> > \sum_{n=0}^\infty \chi(n)/n^s に到達するというは

おっと \sum_{n=1}^\infty です.

> > 不自然だと思いませんか.
> 
> 特に思いませんが。
> これに関しては単に卵が先か鶏が先かという違いだけだと思いますが。。

誰もそんな級数と積分との和から話を始めてはいないのにですか.

> 特にRe(s)>1の時にはこんなにシンプルな式になるという
> 不思議(?)な性質をL(s,χ)は持つんだよぉ(要証明)。
> と説いても
> Σ_{n=0}^∞χ(n)/n^sは全複素平面へ解析接続可能で全複素平面では具体的には
> Σ_{a=1}^{N-1} 1/N^s・1/Γ(s)(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
> B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(a-exp(-u))du)
> と書いたものをL(s,χ)とするんだよぉ。
> と説いても
> 結局,言いたい事は本質的には同じだと思うのですが。。。

何故そんなものを考えるのか, 「他の場合」には何を考えれば
良いのか, についてのヒントも得られないのにですか.

> 前者のメリットは解析接続云々の議論不要でいきなり定義可能。

意味があるものでないと定義する値打ちがない.
何故意味があると分かるかというところから出発するものです.

> > \sum_{n=0}^\infty \chi(n)/n^s という形から,
> > \zeta(s) や \zeta(s, x) や \zeta_{\equiv a mod N}(s) やらとの
> > 関係も見えてくるのです. Re(s) > 1 で成立している関係が
> > 解析接続した先まで成立しているということがあって,
> > 初めて, そういった表示式が導かれるのです.
> 
> それは歴史的なお話であって,
> その表示式が発見されたら現代では天下り式に定義でした
> (勿論,解析接続という概念を編み出して頂いた数学者らお陰)。

本に書いてあることで満足して御仕舞にするならそれでも良いでしょう.
それなら「証明」を理解しようともしない方が
精神衛生上良いでしょう.
何でもかんでも鵜呑みにして御仕舞にされた方が貴方の為です.

> でも解析接続を使った定義方だとζ(s),ζ(s,x),ζ_{≡amodN}(s)の関係まで
> 見えてくるのなら素直にそのような理解に努めたいと思います。

まあ, 貴方には見えないのであれば仕方がありません.

> > 勿論, そういった関係が理解できない人には,
> > その表示式を「信じて」貰うしかないかも知れませんね.
> 
> ふーむ。取り敢えず今後も解析接続は必要不可欠な概念になるのですよね。
> 頑張って,慣例的な定義で理解するように努めます。
> 
> 因みに未だ解析接続関数が発見されてない沢山の数論の関数が実在してるのですよね?

見つけないと発表されないでしょうけれどね.

> > s = 0, -1, -2, \dots での値が 0 というのは間違いです.
> 
> うーん、
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__05.jpg
> と書けばいいのでしょうか?

 0 でもなければ \infty でもないです.

> > だから, \chi: (Z/NZ)^\times \to C^\times が { 1 } 以外の
> > 像を持てば, L(s, \chi) は全複素数平面上での正則関数だと
> > 言っているではないですか.
> 
> そうでした。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__05.jpg
> となるのでしたね。

意味不明です.

> あともう一つ、
> χ(Z)≠{0,1}の時は
> L(s,χ)は全複素平面で正則し,Σ_{n=0}χ(n)/n^sはRe(s)>1で正則, となるのですよね?

 L(s, \chi) は全複素数平面上での正則関数ですし,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 で収束して
 L(s, \chi) を与えます.

> 取り敢えず,
> χ(Z)≠{0,1}の時はL(s,χ)は全複素平面で正則し,Σ_{n=0}χ(n)/n^sはRe(s)>1で正則。 
> χ(Z_N^×)≠{1}の時はL(s,χ)は全複素平面で正則し,Σ_{n=0}χ(n)/n^sはRe(s)>0で正則。

 \chi(Z) \neq { 0, 1 } というのと,
 \chi(Z_N^\times) = \chi((Z/NZ)^\times) \neq { 1 } というのは
同じでしょう. その場合は \sum_{n=1} \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 で
収束して, Re(s) > 0 での正則関数を表す.

> χ(Z)≠{0,1}でもχ(Z_N^×)≠{1}でもないχについては
> L(s,χ)は全複素平面で有理型関数となり,s=0,-1,-2,…では極を持つ
> で完成でしょうか?

 L(s, \chi) は s = 1 でのみ高々極を持つ, です.
 s = 1 以外では正則です.

> > Weierstrass の優級数判定法というのは結局理解できない様ですね.
> 
> すいません。取り敢えず
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__07.jpg
> を使って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__05.jpg
> と行けました。これでいいのですよね?

何を無関係なことを. 別証明で行くということであれば,
それなりにきちんと示すべきでしょう.

> > ここで考えている有限群は加法群 Z/nZ ではなく,
> > 乗法群 (Z/nZ)^\times ですよ.
> > (n, a) \neq 1 となる a については
> > a の類 [a] は (Z/nZ)^\times の元ではありませんから,
> > \chi([a]) 自体定義されていません.
> > 拡張した \bar{\chi} については \bar{\chi}(a) = 0 であるわけですが,
> > 一般に同じ \chi で書いていても, 違うものですから,
> > 別に矛盾でも何でもありません.
> 
> じゃぁ
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_84__01.jpg
> という主張はやはり真なのですね。よかった〜。

 \chi は (Z/NZ)^\times から C^\times への群準同型でもあり,
 Z から C への写像でもありますが,
貴方の記述ではどちらにもなっていません.

> > In article <j3ei3k$7g4$1@dont-email.me>
> > "Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> > > http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/theorem5_4__01.jpg
> > > と2^Map(C,C)↓Map(N,C)と訂正すればいいのですね。
> > 
> > 出鱈目であることは変わりませんが, 無視しておきます.
> 
> えっ!? 何処がいったい出鱈目なのでしょうか?

元の page には

> > > と2^Map(C,C)↓Map(N,C)と訂正すればいいのですね。

といった記述があったわけですが, 現在はなくなっていますね.

> 是非,ご指摘賜れば幸いでございます。

消してしまったものは今更指摘できないでしょうに.

> > だから, Weierstrass の優級数判定法が使えていません.
> 
> 再度手直ししました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_1_3__03.jpg
> でいいのですよね。

それはただの出発点. Weierstrass の優級数判定法の話は
もっと後の方です. もっとも, 出発点からして「証明」には
なっていませんが.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_partial_Riemann_zeta_function__01.jpg
> がζ_{≡a(modn)}(s)の定義ですよね??

違いますよ.

> でもこの定義だとs=1では正則である事になっているのですが。。

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1))
は s = 1, 0, -1, -2, \dots で極を持つのですよ.
 1/\Gamma(s) が掛けられて, s = 0, -1, -2, \dots では
正則になりますが.

> > 1/\Gamma(s) が s = 0, -1. -2, \dots に零点を持つことから
> > \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1) の極が
> > そこでは打ち消されて消えることを確認するだけです.
> 
> すいません。どのようにして打ち消されるのか分かりませんでした。

 s = s_0 で一位の零点を持つ有理形関数と
 s = s_0 で一位の極を持つ有理形関数との積が
 s = s_0 で正則な有理形関数になるという話は
既に何度もしました.

> えーとこれは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_235__02.jpg
> を利用するのかと思いますが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_235__03.jpg
> の括弧内がs=1で正則で≠0となる事はどうすれば言えますでしょうか?

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1))
が何故 s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つ
全複素数平面上の有理形関数になるか, という話も
既にしました.
 Weierstrass の優級数判定法が理解できない方に
これ以上説明することは差し控えます.

> そしてProp200.5は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_4__00.jpg
> を利用して

又変な表示を使っている.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_5__01.jpg
> としてみたのですが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_5__02.jpg
> の部分がどうすればs=1でholomorphicである事が言えるのでしょうか?

 \sum_{n=1}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1))
が s = 1 の近傍で正則であることを
 Weierstrass の優級数判定法で示すわけです.
貴方には理解できないでしょう.

> > そういう計算には余り意味がありません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1236__01.jpg
> と計算すればいいのですね。

前半には意味がありません. f(1) は元々定義されていませんから.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_12365__00.jpg
> ですね。納得です。

ですから, そういう計算にはあまり意味がありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__85.jpg

表示と定義の区別が付いていない所為で
わけのわからない記述になっているところがあります.

> より
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_3__05.jpg
> とすればいいのですね。

証明の方針を述べることと, 証明することとは違います.

> 留数の和でどのように(3)の丸3を示せるのでしょうか?

幾つかの有理形関数が s = 1 を一位の極として持つとき,
その留数の和が 0 になれば, その有理形関数の和は
 s = 1 で正則になります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_4__01.jpg
> となるのですね。

丸で出鱈目ですね.
 
> > ちゃんとそれらが一位の極であることを確かめて下さい.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_233__03.jpg

これも未だ理解されていないようですが,

> より
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__23.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__24.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__25.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__26.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__27.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__28.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__29.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__30.jpg
> といった具合でいいのですよね((i)はまだ懸案中ですが)。

どのステップも理解されていないようですね.

> > だから, 1/\Gamma(s) の零点で極が打ち消されることを
> > 確認して下さい.
> 
> これは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__85.jpg
> の(2)の丸3のお話ですよね。
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> より
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__07.jpg
> と上手くいきました。

どのステップも理解できていませんよね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__06.jpg

 1/\Gamma(s) の零点と \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(a/N)/(n! (s + n - 1))
の極とが打ち消し合って, s = 0, -1, -2, \dots では正則になる,
という話が理解できない内は, 以下は無意味です.

> そして
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__11.jpg
> からどうすればs=1,s=0,s=-1,s=-2の留数が求めれるのでしょうか?

だから, s = 0, -1, -2, \dots では正則です.

> > 計算が間違っていますね.
> 
> えっ? 何処でしょうか?

 page が無関係なものに置き換えられていますね.
 
> > 1/\Gamma(1) の値は分かりますか.
> 
> 1/Γ(1)=1/1!=1ですよね。

正しくは 1/\Gamma(1) = 1/0! = 1 です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Hurwitz_zeta_function__02.jpg
> が取り敢えず正しい定義なのですね

定義としては正しくありません.

> (正式には解析接続を使って定義せねばなりませんが)。

他では駄目です.

> すいません。ちゃんと定義式を使って判定すべきでした。

それは違うでしょう.

> 手直しさせていただきました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__13.jpg
> ならOKですよね。

既に駄目な理由は述べました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__02.jpg
> と訂正してみたのですが

これは酷い. c での微分でどうして s について正則であることが
分かるというのです.

> やはりこれでは駄目なのですよね。
> どのようにして証明すればいいのでしょうか?

証明については既に粗方述べました.
多分貴方には理解できないでしょうから,
諦めて下さい.

> > \zeta_{\equiv a (N)}(s) = (1/N^s) \zeta(s, a/N)が　
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop201_4__03.jpg
> よりこの等式ζ_{≡amod (N)}(s) = (1/N^s) ζ(s, a/N)は
> "Re(s)>1且つ1≦a<N"という条件が必要なのですが
> Prop3.15の(2)の丸3では"Re(s)>1且つ1≦a<N"という条件は与えられてませんよね。
> しかも(2)の丸3はRe(s)>0での議論なのですが。。。
> どのように解釈したらいいのでしょうか?

 \sum_{m=0}^\infty 1/(a + mN)^s = (1/N^s) \sum_{m=0}^\infty (m + a/N)^s
は Re(s) > 1 で両辺が収束して成立する式ですが,
それらを解析接続した関数についての等式
 \zeta_{\equiv a (N)}(s) = (1/N^s) \zeta(s, a/N)
は, 有理形関数としての等式として, 全複素数平面上で成立します.
 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_3__06.jpg
> となったのですが
> Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)1/N^sΣ_{n=0}^∞1/(a/N+n)^sから
> どうすればs=1の留数が求めれるのでしょうか?

その式からは求まらないでしょう.

  lim_{s \to 1} (s - 1) \zeta_{\equiv a (N)}(s)

を級数と積分との和に 1/\Gamma(s) と (1/N^s) を掛けた式を使って
計算して, \sum_{a=1}^N \chi(a) \times で計算すれば良い.

> > それを使って, L(s, \chi) の s = 1 での留数 Res(L(s, \chi), 1) を
> > 計算するのです.
> > Res(L(s, \chi), 1) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/N^1 Res(\zeta(s, a/N), 1)
> > が 0 になることを示せたら,
> 
> えっ。Res(L(s,χ), 1)=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/N^1 Res(ζ(s, a/N),1)=0が
> 成立するのですか。

 \chi((Z/NZ)^\times) = { 1 } ならそうなります.

> > L(s, \chi) が s = 1 で正則であることになります.
> 
> えっ!?。Res(f(z),z=z_0)=0ならf(z)はz=z_0で正則という命題があるのでしょうか?

 f が z_0 を高々一位の極とするときはそうです.

> これはどうして成り立つのでしょうか?

 Laurent 級数展開から自明です.

> あれ、これはProp3.15の(3)の丸2でしたよね。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_3__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_3__08.jpg
> と訂正いたしましたがNR/m^{Re(s)+1}はsを含んでしまっているのでdominant 
> sequenceには成り得ませんよね。
> 何で抑えればいいでしょうか?

 |s| < R, Re(s) > \epsilon > 0 という領域で
一様収束すれば良いので, そういう領域で考えます.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__05.jpg
> と記せばよかったのですね。

だから, s = 0, -1, -2, \dots での値が出鱈目です.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp