工繊大の塚本です.

In article <d706ae38-8437-4381-8d1d-820b9c0d8480@a10g2000vbz.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110616182152.M0330956@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > partial Riemann zeta function \zeta_{\equiv a (N)}(s)
> > は Re(s) > 1 で \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s により
> > 定義される正則関数を, 全複素数平面に有理形関数として
> > 解析接続したものとしなければなりません.
> > そうすれば, s = 1 を除いては,
> > L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
> > ですから,
> 
> Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)ζ_{≡a(modN)(s)という式は何処から来るのでしょうか?
> (確かにRe(s)>1の範囲ではΣ_{n=0}^∞ 1/(a+nN)^sに一致する事は分かりますが)

 L(s, \chi) が Re(s) > 1 での \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s を
解析接続したものであり, Re(s) > 1 では

  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s

が成立しており, \zeta(\equiv a (N)}(s) が Re(s) > 1 での
 \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s を解析接続したものであれば,

  L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(s) \zeta_{\equiv a (N)}(s)

と(両辺が定義できるところで)なるというは,
「一致の定理」からの結論です.

> Σ_{n=0}^∞ 1/(a nN)^sが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg

この図はあまり良い図であるとはいえません.
又, A とか B とかが混乱の元であるようです.
もう一度言います.

領域 D' を含む領域 D があって,
 f が D' 上の正則関数であり,
 g が D 上の正則関数であり,
 g を D' 上に制限したものが f と一致している時,
 g は D' 上の正則関数 f を D に解析接続したものである,
ということになります.

図で f が D を含む A 上で定義されていることになっていて,
 g が D' を含む B 上で定義されていることになっているのは
逆です.

又, g = f|_{D'} も逆で, f = g|_{D'} です.

> でのg(s)に相当するのでしょうか?

逆ですね. f(s) です.

> そしてRe(s)>1がD'という範囲に相当するのでしょうか?

はい.

> するとf(s)はどれに相当するのでしょうか?

より広い領域 D での \zeta_{\equiv a (N)}(s) を表す
 g(s) に対しては, \zeta(s) の場合と同様の積分表示を
作らないといけません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_Hurwitz_zeta_function.jpg
> はC〓{1}で成立ち,

  \zeta(s, x)
   = 2^s \pi^{s-1} \Gamma(1-s) \times
     \sum_{n=1}^\infty n^{s-1} \sin((\pi s)/2 + 2 n \pi a)

が 1 以外の全ての複素数 s について成り立つわけではありません.
大体この和はいつ収束するのですか.

> Re(s)>1では
> Σ_{n=0}^∞1/(x+n)^s=2^sπ^{s-1}Γ(1-s)Σ_{n=1}^∞n^{s-1}sin(πs/2+2nπa)
> が成立つという訳ではないんですか?

 Re(s) > 1 では \lim_{n \to \infty} n^{s-1} は
 0 にならないので, 右辺の和に意味がありません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp