工繊大の塚本と申します.

In article <dcf50b9c-4ee3-44e8-8a02-037bb6acb06d@dr5g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110612232214.M0122310@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > この
> >  L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{a \mod N}(s)

テキストでは \zeta_{a \mod N}(s) のところは
 \zeta_{\equiv a (N)}(s) という記号が
使われていましたね.

> > であるという話は, 他の thread でしましょう.
> 
> L(s,χ)=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)Σ_{n=0}^∞ 1/(nN + a)^sが
> DirichletのL関数の定義域を複素平面全体へ拡張した定義式になるのでしょうか?

 Re(s) > 1 では,

  L(s, \chi)
   = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \sum_{m=1}^\infty 1/(m N + a)^s

が成立し, \sum_{m=1}^\infty 1/(m N + a)^s は
複素平面全体で有理形な関数 \zeta_{\equiv a (N)}(s) に
解析接続され, 特異点としては s = 1 のみを一位の極として持つ
ことが分かりますから,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は　
 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s) を　
考えることにより, 複素平面全体で有理形な関数 L(s, \chi) に
解析接続され, 特異点は高々 s = 1 のみであることが分かります.

 \sum_{m=1}^\infty 1/(m N + a)^s を使うのでは
 Re(s) > 1 での表示式しか得られませんが,
 \zeta_{\equiv a (N)}(s) を用いれば,
 s \neq 1 では
 L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
が L function の表示式として使えます.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp